¿Cuántos códigos postales de 5 dígitos de los Estados Unidos puede haber con exactamente un par de dígitos? Esto incluye tanto códigos postales que corresponden a una ciudad real, pueblo, comunidad incorporada, pueblo fantasma, etc. en los Estados Unidos como códigos postales que actualmente no se utilizan.
Exactamente un par de dígitos significa que solo dos dígitos en un código postal pueden ser iguales, pero los dígitos no necesariamente tienen que estar uno al lado del otro.
Ejemplos de códigos postales que cuentan:
- 99501 (Anchorage, AK) tiene un par de $9$'s
- 02108 (Boston, MA) tiene un par de $0$'s
- 63155 (St. Louis, MO) tiene un par de $5$'s
Ejemplos de códigos postales que no cuentan:
- 59103 (Billings, MT) no tiene dos dígitos iguales
- 78727 (Austin, TX) tiene tres--no dos--dígitos iguales
- 93388 (Bakersfield, CA) tiene dos pares--no un par--de dígitos
Apelé al principio fundamental del conteo, como de costumbre.
Número de códigos postales cuyos...
- primeros dos dígitos son iguales (por ejemplo, 99501): $10 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$
- primer y cuarto dígitos son iguales (por ejemplo, 02108): $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 7$
- cuarto y quinto dígitos son iguales (por ejemplo, 63155): $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 7$
...etc.
¿Estuvo eso correcto o no? Pensé que como el orden importa al escribir un código postal, tenía que considerar todos esos casos. Si es así, ¿cómo puedo considerar todos los casos posibles utilizando un argumento combinatorio, con permutaciones específicamente?
(Tengo poco conocimiento en combinatoria, pero no obstante tengo curiosidad. Esta no es una pregunta de tarea; por lo tanto, mi curiosidad por preguntar esto aquí.)
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Para "Cuarta y quinta cifras iguales", por ejemplo, una vez que hayas elegido la cuarta cifra ya no hay elección que hacer para la quinta, debe coincidir con la cuarta para asegurarse de que coincida. Se elige el resultado de la cuarta y quinta cifra simultáneamente, lo que hace que sea solo $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\color{grey}{\cdot 1}$ para este caso. ¿Ahora... cuántos casos hay? ¿Podrías explicar esto de manera más sencilla sin casos decidiendo dónde están los números coincidentes de antemano?
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Posición de los casos: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5). Así que hay 10 casos, creo.
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Y cuántas formas puedes elegir dos de las posiciones de cinco (sin importar el orden) para colocar los números coincidentes... cinco opciones y queremos elegir dos de ellas. En lugar de perder tiempo y esfuerzo escribiéndolos todos a mano como has hecho (porque consume tiempo y propenso a cometer errores), ¿hay un cálculo conveniente que podamos hacer?
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Hay $5 \choose 2$ formas. Sin embargo, pensé que el orden importaba al escribir un código postal. Por eso los escribí todos al principio.
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El orden de los números importa, sí, pero no estamos hablando de números en este momento, estamos hablando de posiciones que deben ser llenadas por números repetidos. Que las posiciones cinco y tres coincidan es el mismo resultado que si las posiciones tres y cinco coinciden.
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Ahora veo: dado que dos números tienen que repetirse, independientemente de la posición, entonces el número de códigos postales con, por ejemplo, los dos primeros dígitos coincidentes (por ejemplo, 99801) es en realidad $10 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$. No importa dónde se coloque el $1$ en cálculos como ese (por ejemplo, cuarto y quinto dígitos repetidos, segundo y cuarto, etc.); obviamente, cada cantidad siempre será $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$, sin importar las posiciones. Y luego hay ${5 \choose 2 }= 10$ posiciones como esas. Por lo tanto, $(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (10)=50400$, tal como la respuesta de @RobertIsrael.
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Si ahora tres dígitos en un código postal deben coincidir, entonces hay $(10 \cdot 9 \cdot 8) \cdot {5 \choose 3} = 7200$ códigos postales.