El álgebra de las transformaciones naturales del n-ésimo poder tensor de potencia

Question

Deje $k$ $0$ campo de característica, $n$ un entero positivo y $S_n$ $n$- ésimo grupo simétrico.

Vamos a trabajar en el monoidal simétrica categoría de $k$-espacios vectoriales lineales y mapas que denotamos $Vect_k$. Deje $T^{(n)}$ ser el functor $[V \mapsto V^{\otimes n}]$ donde $V^{\otimes n}$ $n$- th tensor de energía de $V$ $[f\mapsto f^{\otimes n}]$ donde $f^{\otimes n}$ $n$- th tensor de energía de $f$. Sé que hay una faithfull acción de $S_n$ $T^{(n)}$ es decir, hay una inyección de $S_n \hookrightarrow Nat(T^{(n)}, T^{(n)})$ donde $Nat(T^{(n)},T^{(n)})$ $k$- álgebra de natural transformaciones de la forma $T^{(n)}$ a su auto. Debido a esto tengo una inyección del álgebra del grupo simétrico en $Nat(T^{(n)},T^{(n)})$ es decir $$ k[S_n] \hookrightarrow Nat(T^{(n)}, T^{(n)}).$$

Mis preguntas son :

1. Es esta la inyección de un isomorfismo de $k$-álgebras? o hay otros naturales transformaciones de $T^{(n)}$ a su auto?
2. Qué tiene que ver con el $Vect_k$ categoría o es algo más general acerca de monoidal simétrica categorías?
3. Si la categoría es sólo trenzado podemos decir que el mismo tipo de cosas para $k[B_n]$ donde $B_n$ es el trenzado de grupo en $n$ cadenas?

Me encontré con esta tratando de demostrar que $k[S_n]$-los módulos son el mismo polinomio homogéneo functors de grado $n$.

Answer 1

1. Sí. Este es un corolario de Schur-Weyl dualidad.

2. Usted necesita por lo menos el adicional de la suposición de que su monoidal simétrica categoría se enriqueció a lo largo de $k$-espacios vectoriales. En general no veo ninguna razón para esperar que la acción de la $k[S_n]$ es fiel; consideremos, por ejemplo, el caso especial en el que sólo nos fijamos en $1$-dimensiones de espacios vectoriales.

3. A veces. La palabra clave a buscar hasta aquí es "quantum Schur-Weyl dualidad".