Sin monomorfismo$\mathbb{Z}^3\rightarrow \mathbb{Z}^2$

Question

Debería ser lo suficientemente simple, pero no puedo demostrar que no haya monomorfismos$\mathbb{Z}^3\rightarrow \mathbb{Z}^2$. (Es cierto, ¿verdad?)

Answer 1

Sugerencia Si $f(x): \mathbb Z^3 \to \mathbb Z^2$ es cualquier morfismos, a continuación,

$$f(1,0,0), f(0,1,0), f(0,0,1) \in \mathbb Z^2 \subset \mathbb Q^2$$

A continuación, deben ser linealmente dependiente de $\mathbb Q$ desde $ \mathbb Q^2$ es de 2 dimensiones $\mathbb Q$-espacio vectorial. Es trivial demostrar que la dependencia lineal sobre $\mathbb Q$ implica dependencia lineal sobre $\mathbb Z$.

Alternativamente $f$ es administrado por un $2 \times 3$ matriz racional entradas. A continuación, la reducción escalonada de $A$ tiene todos racional entradas para $\ker(A)$ contiene un vector con todas las entradas racional. Probar ahora que usted puede encontrar otro vector con todas las entradas entero.

Answer 2

Sugerencia: demuestre que dado cualquier$x, y, z \in \mathbb Z^2$ existen enteros distintos de cero $a, b, c \in \mathbb Z$ tales que$$ax + by + cz = (0, 0)$ $ (Debería poder dar una fórmula explícita para$a, b, c$ en términos del entradas de$x, y, z$)

A continuación, muestre que si tuviera un monomorfismo$\phi\colon\mathbb Z^3 \to \mathbb Z^2$, entonces no existiría tal$a, b, c$ para los vectores$\phi(0, 0, 1), \phi(0, 1, 0), \phi(0, 0, 1)$.

Answer 3

Si tenemos tal monomorfismo$$\phi:\mathbb Z^3\to\mathbb Z^2$$ then according to first theorem of homomorphism we get $ \ mathbb Z ^ 3 \ leq \ mathbb Z ^ 2 $.