¿Interpretación geométrica de las ecuaciones de Cauchy Riemann?

Question

La diferenciación tiene una interpretación geométrica evidente, y las ecuaciones de Cauchy Riemann están estrechamente relacionadas con la diferenciación.

¿Tienen las ecuaciones de Cauchy Riemann una interpretación geométrica?

Answer 1

Supongamos que $f: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$ es analítico cerca de $a \in \mathbf{C}$ . Geométricamente, esto puede interpretarse como que el efecto de $f$ en un pequeño vector $h$ que emana de $a$ es simplemente la multiplicación por el número complejo $f'(a)$ : $$ f(a+h) \approx f(a) +f'(a)h,$$ donde el error tiende a cero de forma sublineal como $|h| \rightarrow 0$ . Es decir, el efecto local de una función analítica es una rotación más una escala. (Hay una interpretación equivalente de la derivada real).

En general, si multiplicamos $z = x + iy$ por un número complejo fijo $a + ib$ tenemos

$$(x + iy) \mapsto (a +ib)(x+iy) =(ax-by) + i(bx+ay).$$

Pensando en $\mathbf{C}$ como $\mathbf{R}^2$ esta transformación corresponde a la multiplicación matricial $$ \begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax - by\\bx+ay\end{bmatrix}.$$

Fíjate en la forma de esta matriz: es la composición de una dilatación y una rotación alrededor del origen.

De vuelta en $\mathbf{C}$ , si $u$ y $v$ son mapeos continuamente diferenciables de $\mathbf{R}^2$ en $\mathbf{R}$ entonces el jacobiano $J$ de $f = u + iv$ es

$$J = \begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix} .$$

$J$ describe el efecto local de $f$ . Ahora, para $f$ para ser analítica, las ecuaciones de Cauchy-Riemann requieren que $u$ y $v$ satisfacer $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $ . Pero si eso es cierto, entonces $J$ debe ser una rotación dilatativa, como la matriz anterior. Así que las ecuaciones de Cauchy-Riemann expresan el hecho de que el efecto local de un mapeo analítico es una rotación dilatativa, es decir, una multiplicación por un número complejo.

Answer 2

La versión de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que prefiero es (asumiendo que estamos usando $x,y$ como coordenadas para la parte real e imaginaria en el dominio) $$ i\partial_x f = \partial_y f $$

Esto tiene una interpretación geométrica directa: la derivada parcial con respecto a la parte real girada por $\pi/2$ (que es lo que se multiplica por $i$ hace a un número complejo) es la derivada parcial con respecto a la parte imaginaria.

La interpretación geométrica de la propia derivada compleja $$ f(z+h) = f(z) + f'(z)h + o(h) $$ es que $f$ se puede aproximar en el primer orden cerca de $z$ por una transformación afín con una parte lineal representada por la multiplicación compleja. Si $f'(z)=re^{i\theta}$ entonces $h\mapsto f'(z)h$ es una rotación por $\theta$ seguido (o precedido) por un escalado uniforme del factor $r$ .

Esto es mucho más restrictivo que real diferenciabilidad de las funciones $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que permite la aproximación por arbitrario transformaciones afines. Por ejemplo, el mapeo $c: (x, y) \mapsto (x, -y)$ se tiene como una diferencial real en todas partes (porque es una transformación lineal). Geométricamente $c$ es una reflexión, que cambia la orientación del plano (envía la base $(1, 0),\ (0, 1)$ que se orienta en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, dependiendo de cómo se dibujen los ejes, a $(1, 0),\ (0, -1)$ que tiene la orientación opuesta). Cuando se piensa en una transformación del plano complejo, $c$ es sólo la conjugación compleja $z \mapsto \overline z$ . Desde un punto de vista geométrico $c$ no tiene ninguna derivada compleja en ninguna parte porque si tal derivada $c'(z)$ existía la transformación lineal $h\mapsto c'(z)h$ tendría que ser una reflexión, lo cual es imposible de obtener componiendo escalas uniformes con rotaciones.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden verse como una consecuencia de la relación entre la derivada compleja y la diferencial real. Debido al argumento de aproximación dado anteriormente y a la unicidad de la diferencial real, la transformación lineal compleja $h\mapsto f'(z)\cdot h$ en $\mathbb C$ corresponde en $\mathbb R^2$ a la diferencial real $$ df(z_x, z_y): \begin{bmatrix}h_x\\h_y\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}\partial_x f(z_x, z_y) & \partial_y f(z_x, z_y)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}h_x\\h_y\end{bmatrix} $$ donde las derivadas parciales reales $\partial_x f(z_x, z_y)$ y $\partial_y f(z_x, z_y)$ son vectores columna y corresponden a las derivadas parciales complejas $\partial_x f(z), \partial_y f(z)$ . Tomando $h = 1$ es decir $h_x = 1, h_y = 0$ , en $\mathbb R^2$ tenemos $$ \begin{bmatrix}\partial_x f(z_x, z_y) & \partial_y f(z_x, z_y)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\partial_x f(z_x, z_y)\end{bmatrix} $$

que se traduce en $\mathbb C$ es $f'(z)\cdot 1 = \partial_x f(z)$ . Tomando $h = i$ (es decir $h_x = 0, h_y = 1$ ) da como resultado $f'(z)\cdot i = \partial_y f(z)$ . Estas dos identidades dan lugar a las ecuaciones de Cauchy-Riemann $\partial_y f(z) = if'(z) = i\partial_x f(z)$ .

Answer 3

Si las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann entonces sus gradientes son ortogonales y de igual longitud: $\nabla u \perp \nabla v$ , $|\nabla u|=|\nabla v|$ . Y esto significa que las curvas de nivel de $u$ y $v$ son ortogonales cuando los gradientes no desaparecen.

Answer 4

Como se ha señalado en los comentarios, existe una bonita interpretación geométrica en el libro de Tristan Needham "Análisis visual de complejos" . Véase, especialmente, el material sobre el "campo vectorial de Polya". En caso de que no pueda acceder a ese libro, he puesto algunas notas en forma de puntos a continuación.

• Dejemos que $f = u + iv$ sea una función de valor complejo, definida en algún dominio abierto $D \subset \mathbb{C}$ .
• Si identificamos $\mathbb{R}^2$ con $\mathbb{C}$ a través de $(x,y) \mapsto x+iy$ entonces podemos pensar en $f = (u,v)$ como un campo vectorial en $D$ .
• El Campo vectorial de Polya $V$ de $f$ es el complejo conjugado $\overline f$ visto como un campo vectorial. Para ser precisos, $V = (u, -v)$ . Obviamente, $V$ es completamente equivalente a $f$ es decir $f$ determina $V$ y viceversa. Por conveniencia, vamos a hacer una notación para las funciones componentes del $V$ . Voy a poner $P=u$ y $Q = -v$ para tener $$V=(P,Q).$$
• Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} && && && \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}. \end{align*} En términos de $P = u$ y $Q = -v$ Es decir \begin{align*} \frac{\partial P}{\partial P} + \frac{\partial Q}{\partial y} =0 && && && \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} =0 \end{align*} que dice precisamente \begin{align*} \mathrm{Div}(V) = 0 && && && \mathrm{Curl}(V) = 0, \end{align*} en términos de divergencia y rizo operadores.

Resumen:

• La primera ecuación de Cauchy Riemann dice exactamente que $\overline f$ cuando se ve como un campo vectorial, tiene divergencia cero. Algunas personas dirían " $\overline f$ es solenoide".
• La segunda ecuación de Cauchy-Riemann dice exactamente que $\overline f$ cuando se ve como un campo vectorial, tiene una curvatura cero. Algunas personas dirían " $\overline f$ es irrotacional".

Por lo tanto, la comprensión de la geometría de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se reduce realmente a la comprensión de la geometría de los operadores de divergencia y rizo, cuyas interpretaciones físicas son así documentado .

Answer 5

Personalmente, pienso en las ecuaciones de Cauchy Riemann en términos de geometría diferencial.

Una función $f: \mathbb C \to \mathbb C $ puede considerarse como una función de $\mathbb{R} ^2 \to \mathbb{R}^2$ , digamos que $f= (u(x,y) , v(x,y))$ . Ahora la conformidad, (para los difeomorfismos locales) está garantizada por el hecho de que la primera forma fundamental de cualquier parche de superficie $\sigma$ de $\mathbb{R} ^2$ (digamos función de identidad) y la primera forma fundamental del parche $f \circ \sigma$ es un múltiplo escalar de cada uno.

Tomemos $\sigma = id$ . Primera forma fundamental de $\sigma$ es $(1,0,1)$ .

Ahora Primera forma fundamental de $f \circ \sigma$ es $\left( (u_x^2 + v_x^2), u_x u_y + v_x v_y, (u_y ^2 + v_y^2) \right)$ .

Así que para la conformidad lo que necesitamos es $u_x ^2 + v_x ^2 = u_y^2 + v_y ^2$ y $u_xu_y + v_xv_y = 0$ .

Nótese que la ecuación de Cauchy-Riemann garantiza eso y de hecho esas ecuaciones ofrecen la ecuación de Cauchy-Riemann (con la suposición extra de que la orientación de los ángulos también debe ser preservada).