Moderador Nota: en el momento En que esta pregunta fue publicado, fue a partir de una disputa en curso. La fecha límite ha pasado.
Supongamos que tenemos un triángulo de números. En la cima del triángulo es 1: cada número a continuación se determina sumando la mitad de cada uno de los números que es de apoyo, y la adición de 1 a la suma. El primer par de capas en el triángulo tener este aspecto:
1 3/2 3/2 7/4 10/4 7/4 15/8 25/8 25/8 15/8 31/16 56/16 66/16 56/16 31/16Los números en los bordes son tales que el número en cualquiera de los extremos de la capa n es $\frac{2^n -1}{2^{n-1}}$. Podemos escribir una generalización de la mitad de los números en el triángulo en términos de $x$, donde cada número del medio es el $(x+1)th$ número en el $(2x+1)th$ fila?
(Favor de explicar la arquitectura de la solución, y cómo usted vino sobre él. Creo que una respuesta que simplemente se ajusta a lo que es MUCHO menos valiosa que la de una instancia donde sabemos por QUÉ la respuesta cabe. ) Tal vez esto se puede hacer con modificaciones para el triángulo de Pascal?
He notado algo bastante interesante si descartamos los denominadores de los números en esta pirámide, que son simplemente $2^{n-1}$ donde $n$ es el número de fila, y dejar a todos los numeradores detrás de la pirámide, entonces podemos producir la línea n de la pirámide de tomar la siguiente pirámide(el siguiente es un ejemplo, que produce la cuarta línea de la pirámide).
j h i e f ga b c d
Si e= $\frac{a+b}{2}$, f= $\frac{b+c}{2}$, y así sucesivamente y así sucesivamente tales todos los caracteres en las filas de arriba y el de abajo son el "promedio" de los dos personajes que están anidadas en, a continuación, si añadimos a+b+c+d+e+f+g+h+i+j, obtenemos 15a+ 25+25 ° c+15d/8. Como se puede ver, los coeficientes de producir la cuarta línea en nuestra pirámide. Del mismo modo, si sumamos los caracteres de una pirámide con base [abcde] y en la punta k vamos a conseguir 31a+56b+66c+56d+31e/16 . Los coeficientes de a,b,c,d, y e son los términos en la quinta línea de nuestra pirámide. Puede alguien pensar de por QUÉ(lo que en la arquitectura de ambas pirámides) esta correlación existe entre estos dos aparentemente desconectados de las pirámides, a través de la conexión de sus métodos de producción?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Supongo que la forma de hacerlo es considerar en primer lugar la pirámide donde estamos haciendo esta operación, pero no la adición de 1 en cada etapa. Esto nos da básicamente triángulo de Pascal con la n-ésima fila dividido por $2^n$. Ahora observamos que la pirámide en la pregunta puede ser obtenida mediante la suma de varias copias de esta pirámide, con una copia a partir de cada punto, por así decirlo.
por ejemplo. para los primeros 3 filas:
1
1/2 1/2
1/4 2/4 1/4
+
0
1 0
1/2 1/2 0
+
0
0 1
0 1/2 1/2
+
0
0 0
1 0 0
+
0
0 0
0 1 0
+
0
0 0
0 0 1
=
1
3/2 3/2
7/4 10/4 7/4
Ahora para cualquier punto de la final de la pirámide, podemos mirar el constituyente pirámides que contribuyen a ella, y el valor que obtiene de cada pirámide. Por el punto medio, el jefe de la constituyente, pirámides cuyas contribuciones son no-cero de la forma de un diamante, y es fácil ver por el examen que los valores que contribuyen de la misma como el conjunto de valores que tienen en el constituyente de la pirámide arraigada en la parte superior. por ejemplo. considerar las contribuciones a
66/16 en
1
3/2 3/2
7/4 10/4 7/4
15/8 25/8 25/8 15/8
31/16 56/16 66/16 56/16 31/16
por
**1**
**1/2 1/2**
**1/4 2/4 1/4**
1/8 **3/8 3/8** 1/8
1/16 4/16 **6/16** 4/16 1/16
Sólo los puntos que he puesto en negrita tienen las pirámides arraigada en ellos contribuyen, además, la pirámide de raíz en 1 contribuye 6/16, el que hunde sus raíces en la 6/16 contribuye 1, queridos raíz en 1/2 contribuir 3/8, etc. (por lo de la lista de contribuciones por cada punto de este diamante se pueden obtener simplemente moviendo el diamante de valores verticalmente, a continuación, en posición horizontal, aunque el flip horizontal no cambie los valores). Por lo que el valor que queremos aquí es la suma de los valores de este diamante = $1 + (1/2 + 1/2) + (1/4 + 2/4 + 1/4) + (3/8 + 3/8) + 6/16$, lo que da $66/16$ como queremos.
Así que en general, sólo podemos ver en la primera contribuyendo pirámide, hacer un diamante como este, y luego suma los valores en la $2x+1$ filas. El primer $x+1$ sumas simplemente ser 1 cada uno, después de que en la n-ésima fila tendremos que buscar en la suma de k va de$n-(x+1)$$x$$^nC_k/2^n$. Así que en total suma lo que se necesita es $x + 1 + \sum_{n=x+2}^{2x+1}\sum_{k=n-(x+1)}^{x}^nC_k/2^n$. Yo no trato de simplificar esto como una respuesta simplificada parece haber sido proporcionada por Gerry ya.
Creo que puede ser http://oeis.org/A033504, donde la fórmula $$4^{-n}(n+1)\left(2^{2n+1}-{2n+1\choose n+1}\right)$$ is attributed to Vladeta Jovovic. E.g., when $ n=3$, this gives $372/64$, que es el término siguiente.
