Contraejemplo para $(a*b)^2=a^2*b^2$

Question

Estoy atrapado en la búsqueda de un contraejemplo para el siguiente problema,

Si $G$ es un grupo con la operación y % pertenecen $a$y $b$ $G$, entonces el $(ab)^2=a^2*b^2$.

Creo que es falsa porque la ley de exponentes sólo funciona si el grupo es abeliano y no indicaron si este grupo es abeliano. Mi línea de pensamiento es que no debo usar multiplicación o adición como mi operación ya que son conmutativas pero no sé dónde ir desde allí.

Answer 1

Al construir estos ejemplos, siempre trate de comenzar. Tomar el grupo nonabelian más pequeño: $S_3$.

$(12), (23) \in S_3$ y $(12)(23) = (123)$.

Así $[(12)(23)]^2 = (132)$. $(12)^2 = (23)^2 = 1$ y desde $(132) \not= 1$, tienes el ejemplo deseado.

Answer 2

Un ejemplo de Grupo $(\mathbb H\setminus{0},\cdot)$:

$(ij)^2=k^2=-1$

pero

$i^2j^2=(-1)^2=1$.

Answer 3

Considerar $D_6$, el Grupo diédrico de orden 6 el más pequeño no-abelian grupo

$\begin{array}{c|cccccc} * & e & a & b & c & d & f \ \hline e & e & a & b & c & d & f \ a & a & e & d & f & b & c \ b & b & f & e & d & c & a \ c & c & d & f & e & a & b \ d & d & c & a & b & f & e \ f & f & b & c & a & e & d \ \end{matriz} $

$(a*b)^2=f^2=d$

$a^2b^2=ee=e$

y $d\ne e$

por lo que la propiedad no es válida

Espero que esto ayude

Answer 4

Tomar cualquier no-Abelian grupo $(G,)$. Ahora toma cualquier dos elementos $a$ y $b$ tal que $ab\neq ba$. Entonces $aabb\neq abab$. En otras palabras, $a^2b^2\neq(a*b)^2$.

Por ejemplo, $G$ puede ser el conjunto de todos los bijections de $\mathbb Q$ en sí mismo y $*$ la composición. Tomar $a(x)=2x$ y $b(x)=1-x$.

Answer 5

$(ab)^2 = a^2 b^2$ Si y sólo si $abab=aabb$, que es si y sólo si $ba=ab$, o si y sólo si $a$ y $b$ viaje.

Encontrar cualquier grupo no-abeliano, y tendrás un ejemplo.