Que $\bar{\Omega}$ sea un múltiple liso, compacto con límite; nos indica que el interior $\Omega$. Podemos suponer $\bar{\Omega}$ está contenido en un compacto, liso múltiple $M$, $\partial\Omega$ una hipersuperficie de lisa. $s\geq0$, Definimos $H_0^s(\Omega)$ consistir en el cierre de $C_0^\infty(\Omega)$ $H^s(\Omega)$. Para $s=k$ un entero no negativo, cómo muestro que $$H_0^k(\Omega)={u\in H^k(M):\text{supp }u\subset\bar{\Omega}}?$ $ estoy tratando de escribir una prueba rigurosa de ya solo falta un puntero sutil. ¿Ustedes tienen alguna idea? ¡Gracias de antemano!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Notación: $D=\{u\in H^k(M):\text{supp }u\subset\bar{\Omega}\}$. Por qué $D$? Porque me gusta la letra D... =)
Para probar que dos conjuntos son iguales, es generalmente una buena idea para demostrar que uno es un subconjunto de la otra y viceversa.
En primer lugar, puede fácilmente demostrar que si $u\in H^k_0$, que para asegurarse de supp $u\subset \bar{\Omega}$ (argumentar por contradicción); esto demuestra $H^k_0\subset D$.
Para demostrar que $D\subset H^k_0$ utiliza la definición de las $H^k$ (que es el cierre de $C^\infty$ con respecto al $H^k$ norma), y demostrar que, para un determinado $u\in D$, cualquier aproximación de secuencia $\varphi_n\in D$ debe tener un seguimiento en $\partial \Omega$ que se desvanece como $n$ va al infinito. A continuación, intente aproximado de cada una de las $\varphi_n$, con una función de $\psi_n\in D$. Luego de concluir.
Espero no dar demasiados detalles y hacerle algunos pasos para divertirse con... ;-)
