"Toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito" - ¿este refinamiento puede realizarse siempre en términos de conjuntos de bases?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico paracompacto, sea $C$ sea una cubierta abierta, y que $\mathscr B$ sea una base para la topología. ¿Existe siempre un refinamiento localmente finito que consiste en conjuntos de bases?

La razón por la que esto es más complicado de lo que parece es que, mientras que cada conjunto en el refinamiento es una unión de conjuntos base, esto definitivamente no está garantizado que sea un tipo de unión localmente finita, y tomar un refinamiento localmente finito de esto te lleva fuera del mundo de los conjuntos base...

Ahora bien, permítanme añadir que no recuerdo bien el contexto que me llevó a plantearme esta pregunta, pero sigo interesado en averiguar la respuesta.

Answer 1

La propiedad en cuestión fue introducida por Ralph Ford en su disertación, en 1963. Un espacio es totalmente paracompacto si cada base abierta tiene una subcubierta localmente finita.

La propiedad puede diferenciarse aún más, dependiendo de si comienza su definición con "toda base abierta $\mathcal B$ " (que supongo que quieres decir, y que coincide con la paracompacidad total), o dices "hay una base abierta $\mathcal B$ etc.", lo que requiere considerar algunas otras condiciones para que esta última propiedad sea diferente de la paracompacidad, dado que la propia topología es una base. Una variación es la paracompacidad de base, cuando se dice que hay una base $\mathcal B$ de cardinalidad el peso del espacio tal que toda cubierta abierta tiene un refinamiento localmente finito con elementos de esta base. Otra variación es si se dice que hay una base $\mathcal B$ de manera que cada base $\mathcal B'\subseteq\mathcal B$ tiene una subcubierta localmente finita, lo que se denomina paracompacidad de base.

El comentario de bof más arriba proporciona un ejemplo de un espacio paracompacto que no es totalmente paracompacto y responde a tu pregunta. Voy a poner algunos enlaces a la literatura donde se puede leer más.

H. H. Corson, T. J. McMinn, E. A. Michael, J. Nagata,
Bases y finitud local.
Avisos Amer. Math. Soc. 6 (1959), 814 (resumen).
Un resultado anunciado allí:
La base de todos los conjuntos acotados, abiertos convexa en un espacio de Banach reflexivo e infinito es gruesa (es decir, no tiene ninguna subcubierta localmente finita). También los irracionales tienen una base gruesa.

H. H. Corson, Colecciones de conjuntos convexos que cubren un espacio de Banach.
Fondo. Math. 49 (1960/1961), 143-145.
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm49110.pdf
Este documento contiene una prueba del resultado anunciado anteriormente.

R. Ford, Basic properties in dimension theory,
Disertación, Auburn Univ., (1963).
Demostró que la dimensión inductiva pequeña y la grande coinciden para espacios métricos totalmente paracompactos.
http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v25/tp25101.pdf (el anterior no es un enlace a la tesis en sí, y el siguiente es un enlace que no sé si funciona)
https://www.researchgate.net/publication/34359587_Basis_properties_in_dimension_theory

A.Lelek, Sobre espacios métricos totalmente paracompactos.
Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 168-170
https://www.jstor.org/stable/pdf/2036160.pdf
https://www.ams.org/journals/proc/1968-019-01/S0002-9939-1968-0219032-3/S0002-9939-1968-0219032-3.pdf
A. Lelek, Algunas propiedades de cobertura de los espacios
Fundamenta Mathematicae (1969)
Volumen: 64, Número: 2, página 209-218
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm64/fm64117.pdf
Una de las propiedades consideradas es la paracompacidad total.

John O'Farrell,
Algunos métodos para determinar la paracompacidad total,
Disertación, Universidad de Auburn (1982).
John O'Farrell, la línea Sorgenfrey no es totalmente metacompacta,
Houston J. Math 9 (1983), no.2, 271-273.
https://www.math.uh.edu/~hjm/vol09-2.html
Los irracionales con la topología habitual no son totalmente paracompactos. La línea de Sorgenfrey no es totalmente paracompacta.

Zoltan Balogh y Harold Bennett
Paracompacidad total de los espacios GO reales
Actas de la Sociedad Matemática Americana
Vol. 101, No. 4 (dic., 1987), pp. 753-760
https://www.jstor.org/stable/2046684?seq=1#page_scan_tab_contents
https://www.ams.org/journals/proc/1987-101-04/S0002-9939-1987-0911046-2/S0002-9939-1987-0911046-2.pdf
Espacios reales GO significa aquí tomar los reales como un conjunto, con una topología de orden generalizado: Cualquier topología más fuerte que la habitual, que tenga una base de conjuntos de orden convexo. Algunos ejemplos son la línea de Sorgenfrey y la línea de Michael.

Francisco Gallego Lupiañez
Paracompacidad total y espacios de Banach
Proc. Amer. Math. Soc. 103 (1988), 210-214
http://www.ams.org/journals/proc/1988-103-01/S0002-9939-1988-0938670-6/
(Parece muy relevante, aunque lo acabo de descubrir con google).

John E. Porter, Espacios paracompactos de base
Topología y sus aplicaciones 128 (2003) 145-156
https://core.ac.uk/download/pdf/81947055.pdf
La paracompacidad de base es una propiedad menos restrictiva, hay una base $\mathcal B$ de cardinalidad del peso, tal que toda cubierta abierta tiene un refinamiento localmente finito con elementos de $\mathcal B$ . En la actualidad 6/26/2019, es una cuestión abierta si todo espacio paracompacto es base-paracompacto. La introducción enumera alguna literatura sobre la paracompacidad total.

Strashimir G. Popvassilev, Paracompacidad de la familia de bases
Revista de Matemáticas de Houston Volumen 32, No. 2, 2006
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.640.9733&rep=rep1&type=pdf
La paracompacidad de la familia de bases es una propiedad relacionada, y en las introducciones se enumeran algunos de los resultados y la literatura relevante para la paracompacidad total.

Strashimir G. Popvassilev, Base-cover paracompactness,
Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), 3121-3130
https://www.jstor.org/stable/4097277?seq=1#page_scan_tab_contents
http://www.ams.org/journals/proc/2004-132-10/S0002-9939-04-07457-X/home.html
Otra propiedad relacionada y la discusión de la literatura.

Strashimir G. Popvassilev
Paracompacidad base-base y subconjuntos de la línea de Sorgenfrey
Mathematica Bohemica (2012) Volumen: 137, Número: 4, página 395-401
http://mb.math.cas.cz/full/137/4/mb137_4_3.pdf
https://eudml.org/doc/246244
Otra propiedad relacionada y una pregunta abierta.

Gary Gruenhage, Espacios metrizables generalizados
En Recent progress of general topology III,
ver sección 20. Base paracompacta
http://webhome.auburn.edu/~gruengf/papers/genmetricfinalb.pdf

Answer 2

Interesante. Volviendo a mi lectura de Lee Introducción a las Múltiples Topológicas En la página web de la Comisión Europea, he encontrado el siguiente teorema, que ahora me doy cuenta de que es lo que me ha llevado a plantear esta pregunta, que llevaba tiempo rondando por mi cabeza. Nótese que esto no es lo que me hizo considerar originalmente la pregunta.

Teorema 1.15 (Las variedades son paracompactas). Toda variedad topológica es paracompacta. De hecho, dada una variedad topológica $M$ , una tapa abierta $\mathcal X$ de $M$ y cualquier base $\mathscr B$ para la topología de $M$ existe un refinamiento abierto contable y localmente finito de $\mathcal X$ compuesto por elementos de $\mathscr B$ .

Aquí está la prueba (tal y como la dio Lee):

Dado $M$ , $\mathcal X$ y $\mathscr B$ como en la hipótesis del teorema, que $\left(K_j\right)_{j=1}^\infty$ ser un agotamiento de $M$ por conjuntos compactos (Proposición A.60). Para cada $j$ , dejemos que $V_j = K_{j+1}/\operatorname{Int}(K_j)$ y $W_j = \operatorname{Int}(K_{j+2}) / K_{j-1}$ (donde interpretamos $K_j$ como $\emptyset$ si $j < 1$ ). Entonces $V_j$ es un conjunto compacto contenido en el subconjunto abierto $W_j$ . Para cada $x \in V_j$ Hay un poco de $X_x \in \mathcal X$ que contiene $x$ y porque $\mathscr B$ es una base, existe $B_x \in \mathscr B$ tal que $x \in B_x \subseteq X_x \cap W_j$ . La colección de todos estos conjuntos $B_x$ como $x$ se extiende sobre $V_j$ es una cubierta abierta de $V_j$ y, por tanto, tiene una subcubierta finita. La unión de todas estas subcubiertas finitas como $j$ se extiende sobre los enteros positivos es una cubierta abierta contable de $M$ que refina $\mathcal X$ . Porque la subcubierta finita de $V_j$ consiste en conjuntos contenidos en $W_j$ y $W_j \cap W_{j'} = \emptyset$ excepto cuando $j-2 \le j' \le j+2$ la cubierta resultante es localmente finita $\blacksquare$

Esto parece aplicarse no sólo a las variedades, sino también a los espacios de Hausdorff localmente compactos de segundo orden (para los que se cumple la Proposición A.60, es decir, que admiten un agotamiento por conjuntos compactos). Sin embargo, la compacidad local parece ser la clave para hacer un refinamiento localmente finito de los elementos de la base, por lo que parece que la afirmación podría no ser válida en general. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo se puede demostrar esto de una manera u otra.