Unicidad del inverso de los mapas lineales

Question

Deje $V,W$ ser real, espacios vectoriales, y considere la posibilidad de $\Bbb R$-transformación lineal $\varphi:V\to W$.

Sabemos que si $\varphi$ es de derecha e izquierda es invertible, entonces admite un inverso y es único.

Si $\varphi$ es invertible en un lado (por ejemplo a la derecha), se puede demostrar que esta a la derecha de la inversa no es en general único.

Mi pregunta es: si sabemos que este derecho inversa es única, implica que el $\varphi$ es también la izquierda invertible?

Sospecho espacios lineales/mapas no juega ningún papel relevante aquí; tal vez este resultado, puede ser discutido por las funciones genéricas $f:X\to Y$.

Answer 1

Esta pregunta proporciona una respuesta para$V = W$:

Permita que$A, B : V \to V$ sean mapas lineales tales que$B$ es el único inverso correcto para$A$.

Mostraremos que$B$ también es un inverso izquierdo para$A$. Considerar $BA+B−I$:

ps

$$A(BA+B-I)=ABA+AB-A = A+I-A=I=AB$también es una inversión inversa para$BA+B-I$. Por lo tanto,$A$, que implica$BA+B-I=B$.

Por lo tanto,$BA = I$ es invertible.

Answer 2

Mostraré que para que un inverso de la derecha sea único, el kernel de$\phi$ debe desaparecer y, por lo tanto,$\phi$ debe ser inyectiva.

Escribe$V = V/\ker(\phi)\oplus \ker(\phi)$ y deja que$\psi : W \to V/\ker(\phi)\oplus\ker(\phi)$ sea un inverso a la derecha. Entonces$\psi$ se puede escribir como$\psi = \psi_1 + \psi_0$, donde

• $\psi_1 : W \to V/\ker(\phi)$ y
• $\psi_0 : W \to \ker(\phi)$

Al componer$\psi_0$ con cualquier automorfismo$\mu : \ker(\psi) \to \ker(\psi)$, se obtiene un%-$\psi_\mu = \psi_1 + \mu \circ \psi_0$de% con$\phi \circ \psi_\mu = \phi\circ(\psi_1 + \mu \circ \psi_0) = \phi\circ\psi_1 = \phi\circ(\psi_1 + \psi_0) = id_W$.