¿Cómo se hace $\int_{z=-R+0i}^{R+0i} \frac{e^{2iz}-1-2iz}{z^2}\ dx$ $\int_{-R}^R \frac{\sin^2x}{x^2}\ dx$?

Question

Mientras tratando de calcular $\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\ dx$, el autor de este libro sugiere computing $\int_{C_R} \frac{e^{2iz}-1-2iz}{z^2}\ dz$ en un semi-circular de contorno en la mitad superior del plano -.

La singularidad en $z=0$ es extraíble, por lo que la función es completa, por lo que la integral se convierte en cero. A continuación, hace un gran salto y dice: "por Lo tanto, $-2\int_{-R}^R \frac{\sin^2 x}{x^2}\ dx -2i\int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z} + \int_{\Gamma_R} \frac{e^{2i z}-1}{z^2}\ dz = 0$."

Aquí, $\Gamma_R$ denotar el "arco" parte de la semi-circular de contorno.

Yo llegar a donde se pone el segundo de los términos. Yo no se de donde lo saca a la primera.

¿Cómo vamos de

$$\int_{-R}^R \frac{e^{2ix}-1-2ix}{x^2}\ dx$$

a

$$\int_{-R}^R \frac{\sin^2 x}{x^2}\ dx?$$

Answer 1

$$e^{2iz}-1-2iz=1+2iz+\frac {(2iz)^2}2+\frac{(2iz)^3}6+\ldots\frac {(2iz)^n}{n!}+\ldots-1-2iz=\\ =\frac{(2iz)^2}2+\frac{(2iz)^3}{3!}+\ldots+\frac{(2iz)^{n+2}}{(n+2)!}+\ldots$$ Si integramos sobre $(-R, R)$, obviamente todos los impares poderes va a abandonar, ya que su antiderivatives serán aún. Así que vamos a considerar incluso poderes sólo $$e^{2iz}-1-2iz \stackrel{\int}{\equiv} \frac {(2ix)^2}{2!} + \frac {(2ix)^4}{4!} + \frac {(2ix)^6}{6!} + \ldots + \frac {(2ix)^{2k+2}}{(2k+2)!} + \ldots = \\ = -\frac {(2x)^2}{2!} + \frac {(2x)^4}{4!} - \frac {(2x)^6}{6!} + \ldots + (-1)^{k+1} \frac {(2x)^{2k+2}}{(2k+2)!} + \ldots = \\ = 1 -\frac {(2x)^2}{2!} + \frac {(2x)^4}{4!} - \frac {(2x)^6}{6!} + \ldots + (-1)^{k+1} \frac {(2x)^{2k+2}}{(2k+2)!} + \ldots - 1 = \\ = \cos 2x-1 = -2\sen^2x$$

Answer 2

Una idea:

$$\frac{e^{2ix}-1-2ix}{x^2}=\frac{\cos 2x+i\sin 2x-1-2ix}{x^2}=\frac{\rlap{/}1-2\sin^2x+i\sin 2x-\rlap{/}1-2ix}{x^2}=$$

$$=-2\frac{\sin^2 x}{x^2}+\frac{\sin 2x-2x}{x^2}i$$

y ahora tal vez ese autor (¿qué libro es que, por cierto?) para tomar la parte real de ese complejo de la función integral...?