Factorial de infinity

Question

Así, que he leído en este artículo que:

$$\zeta'(0) = \log\sqrt\frac{1}{2\pi}$$

Y que: $$e^{-\zeta'(0)} = 1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot\infty = \infty! = \sqrt{2\pi}$$

He encontrado este resultado muy extraño y trató de simplificar si pero yo no podía. Puede alguien me ayuda?

Gracias!

Answer 1

Voy a tratar de explicarme lo que está pasando con un simple ejemplo. Considerar la serie geométrica $$F(s)=\sum_{n=0}^{\infty}s^n,$$ que converge en el interior del círculo unidad $|s|<1$ a la función $F(s)=\frac{1}{1-s}$. Nota, sin embargo, que el $F(s)$ puede ser analíticamente continuó el todo el plano complejo con excluidas de punto de $s=1$, que es un simple polo de $F(s)$. Este punto, de hecho fue el origen de la radio de convergencia igual a $1$. Así que estamos tentados a escribir identidades como $$ F(2)=1+2+4+8+\ldots=\frac{1}{1-2}=-1.$$ Es importante entender que ellos no "realmente" hold. La lógica es la siguiente: la serie inicial define en función de un "pequeño" de dominio, pero a veces esta función puede ser (única!) siguió un mayor dominio en la serie original ya no tiene sentido. En general, esta continuación tiene singularidades.

A veces - en realidad, casi siempre, uno no puede construir una continuación a todo el plano complejo aislado con puntos singulares de las singularidades llamado de los límites naturales. Un ejemplo de esto se encuentra, si consideramos que en lugar de $F(s)$ la serie $$G(s)=\sum_{n=0}^{\infty}s^{n^2},$$ que converge en el interior del círculo unidad, incluso mejor que el $F(s)$, pero no se puede continuar en otra parte: $|s|=1$ es un denso conjunto de singularidades para $G(s)$.

Volvamos ahora a la pregunta inicial. Si tenemos en cuenta la serie $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s},$$ converge a una función $\zeta(s)$ en el halfplane $\mathrm{Re}\,s>1$. Resulta que esta función puede ser (de nuevo, la única!) siguió todo el plano complejo excepto en el punto de $s=1$ donde ha simple polo, de manera similar a nuestro ejemplo anterior. Esto continuó función, así como sus derivados, pueden ser evaluados para cualquier $s\neq1$ (por ejemplo, en$s=-1$$0$). Una de las maneras de hacerlo es utilizar sistemáticamente representación integral $$\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1},$$ que para $\mathrm{Re}\,s>1$ reproduce la serie original de definición.

Answer 2

Una manera de comprobar (no demostrar/refutar (!)) que resultados aproximados y numéricamente es el uso de la alternancia de zeta en el mismo parámetro, el cual puede ser resumida mediante la simple suma de los procedimientos para divergentes de totalización. Si escribimos $$ \eta(s) = \frac 1{1^s} - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - ... $$ y furtherly $$ \eta(s) = \exp(-s\ln 1) - \exp(- s\ln2) + \exp(-s\ln 3) - ... $$

entonces se puede escribir la derivada como $$ \eta(s)' = (-\ln1)\cdot \exp(-s\ln 1) - (-\ln2)\cdot \exp(- s\ln2) + (-\ln3)\cdot \exp(-s\ln 3) - ... $$ y dejando $\lim s \to 0$ esto da $$ \begin{eqnarray} \eta(0)' &=& (-\ln1) - (-\ln2) + (-\ln3) - ... \\ \eta(0)' &=& - (\ln1 - \ln2 + \ln3 - ...) \tag 1 \end{eqnarray}$$ El último puede ser manejado por un procedimiento sencillo para divergentes suma; por ejemplo Euler-suma $ \mathfrak E $ que se da a continuación $$ \eta(0)' \underset{\mathfrak E}{=} 0.225791352645... $$ Ahora en (1) vemos que la alternancia de signos, sino que el valor equivalente de la zeta-función de esta serie no es la alternancia. Así $$ \zeta(0)' = - (\ln1 + \ln2 + \ln3 + ...) \tag 2$$ Suponemos ahora que el valor de $ \zeta(0)' = s$ existe y que podemos manejar en el divergentes suma. Aquí se alude a Euler el truco de la transformación-de la fórmula entre zeta() y (eta) y aprovechar que los registros en incluso los argumentos son negativos en la eta-fórmula. Pero $ \ln(2m) = \ln2 + \ln m$ y por lo tanto podemos escribir $$ \begin{eqnarray} s &=& - ( &(\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \ln 4 + \ln 5 + \ln 6 + \ln 7...) \\ s &=& - ( &(\ln 1 - \ln 2 + \ln 3 - \ln 4 + \ln 5 - \ln 6 + \ln 7...) \\ & & &+2 \cdot ( \ln 2 + \ln 4 + \ln 6 + \ln 8 + ...) ) \\ s&=& &\eta(0)' - 2 \cdot ( (\ln2 + \ln1) + (\ln2 + \ln 2) + (\ln 2 + \ln 3) + ...)) \\ s&=& &\eta(0)' - 2 \cdot ( \zeta(0) \cdot \ln 2 - s ) \tag 3\\ \end{eqnarray} $$ donde hemos acumulado la constante $\ln 2$ que se produce como sumando en cada consecutivos logaritmo en la última ecuación (3) como $\zeta(0) \cdot \ln 2$. A continuación, tenemos una determinación de spor $$ \begin{eqnarray} &s&=& \eta(0)' - 2 \cdot ( \zeta(0) \cdot \ln 2 - s ) \\ &-s&=& \eta(0)' - 2 \cdot \zeta(0) \cdot \ln 2 \\ \zeta(0)'&=s&=& -\eta(0)' - \ln 2 \tag 4 \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} &\zeta(0)' &\sim - 0.225791352645... - 0.693147180560 \\ && \sim -0.918938533205... \tag 5 \\ \end{eqnarray}$$ Y, de hecho, numéricamente obtenemos con Pari/GP

log(1/sqrt(2*Pi))
 %393 = -0.918938533205

y también

h=1e-12;(zeta(0+h/2)-zeta(0-h/2))/h
 %394 = -0.918938533205

Todo esto requiere supuestos sobre el general summability de la divergencia en los términos. Pero hay una bastante desarrollada la teoría de la divergencia de suma, de que uno puede dar la confirmación acerca de la aceptabilidad de las anteriores transformaciones. Ellos tienen la intención de mostrar una ruta para obtener el resultado; tal vez/probablemente hay otros más elegante o incluso rígido.

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Apéndice: El Pari/GP código para la evaluación numérica de $\eta(0)'$ en (3) es

-sumalt(k=0,(-1)^k*log(1+k))
 %387 = 0.225791352645

Answer 3

Estoy riemannium, autor de la anterior cita de entrada y el blog el Espectro De Riemannium (TSOR). Acabo de corregir los errores en mi artículo citado anteriormente. Quiero decir, escribí $\eta (1)=\log 2$. Se trataba de un error tipográfico, mientras yo estaba escribiendo el artículo. Creo que no hay más errores, pero si usted encuentra más de "errores", hágamelo saber. Estoy tomando mi blog como un serio especializados "trabajo", por lo que no me gusta errores de entrada de datos. Yo también soy un perfeccionista. Muchas gracias también por los enlaces tan bonito de referencias acerca de la regularización de la infinita productos no sabía hasta ahora! :).

Answer 4

Mi método es el siguiente: $$\prod_{n=1}^{\infty}(n)= (2\pi)^{0.5} $$ $$\prod_{n=1}^{\infty}(n)= e^{\sum_{n=1}^{\infty} ln(n)}$$ Primero debemos escribirlo en forma alterna. Esto se hace con el fin de hacer Cesàro sumable. Desde el período no importa que me tome un período de 2. $$ \sum_{n=1}^{\infty} ln(n)= \sum_{n=1}^{\infty} 2ln(2n/4)-ln(1/4) =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n*ln(n/4)$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} -(-1)^n*ln(4)=1/2 (ln(4))$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n*ln(n)= $$. $$1/2(\sum_{n=1}^{1/2(m)} ln(2n)-\sum_{n=1}^{1/2(m)} ln(2n-1) + \sum_{n=1}^{1/2(m-1)} ln(2n) -\sum_{n=1}^{1/2(m+1)} ln(2n-1) )=$$ $$ (2m-1)/2*ln(2)+ln((1/2*m)!)+ln((1/2(m-1))!)-ln(m!)=$$ $$ -1/2ln(2)+ln(\frac{((1/2)m)!*((1/2*(m-1))!)*2^m}{m!})=1/2(ln(pi/2))$$

Así que aquí vamos: $$\prod_{n=1}^{\infty}(n)= (2\pi)^{0.5} $$