Diagonalizabilidad de elementos de subgrupos finitos de un grupo lineal general sobre un campo algebraicamente cerrado

Question

Cómo demostrar que cada elemento de $G$ , donde $G$ es un subgrupo finito de $GL_n(\mathbb{k})$ el grupo lineal general de matrices cuadradas de orden $n$ sobre algún campo algebraico cerrado $\mathbb{k}$ es diagnosticable si $\mathbb{k}$ es un cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ ?

Sé que una matriz es diagonalizable si su polinomio mínimo es separable en el campo sobre el que se define la matriz. Ahora bien, ¿qué pasa si el polinomio mínimo tiene raíces repetidas? ¿Cómo aseguramos la diginalizabilidad? Cualquier pista. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $K$ sea un campo. Como ya se ha mencionado, una matriz $A \in \operatorname{M}_n(K)$ es diagonalizable (sobre $K$ ) si y sólo si existe un polinomio $f(t) \in K[t]$ con $f(A) = 0$ tal que $f$ se descompone en factores lineales diferentes por pares sobre $K$ .

Para $A \in G$ y $n := |G|$ tenemos que $A^n = I$ para que $A$ satisface el polinomio $f(t) := t^n - 1 \in \mathbb{k}[t]$ . El polinomio $f(t)$ se descompone en factores lineales porque $\mathbb{k}$ es algebraicamente cerrado. Se deduce de $\operatorname{char}(\mathbb{k}) = 0$ que el polinomio $f$ es separable (porque $f(t) = t^n - 1$ y $f'(t) = n t^{n-1}$ son coprimos), por lo que $f(t)$ se descompone en factores lineales diferentes por pares. Así, $A$ es diagonalizable.

(Para ver que $f(t)$ es separable también se puede incrustar $\mathbb{k}$ en $\mathbb{C}$ porque $\mathbb{k}$ es un cierre algebraico de $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{C}$ . Como las raíces de la unidad en $\mathbb{C}$ son diferentes entre sí, lo mismo ocurre con $\mathbb{k}$ .)

Answer 2

Dejemos que $A\in G$ sea una matriz. Después de cambiar las bases, $A$ está en el JNF. Escribamos $A=D+N$ con $D$ diagonal y $N$ la parte nilpotente. Ahora bien, como $G$ es finito, hay algún $m\in\Bbb N$ con $A^m=I$ la matriz de identidad. Dado que $DN=ND$ tenemos $$I = A^m = (D+N)^m = \sum_{k=0}^m \binom mk N^k D^{m-k} = D^m + \sum_{k=1}^m \binom mk N^k D^{m-k} =: D^m+\tilde N. $$ Tenga en cuenta que $\tilde N$ es una matriz nilpotente, estrictamente triangular superior. De ello se deduce que $\tilde N=0$ y $D^m=I$ . Por lo tanto, $$ 0 = \tilde N = N\cdot\left(mD^{m-1}+\sum_{k=2}^{l} \binom mk N^{k-1} D^{m-k}\right) $$ y como el segundo factor es una matriz triangular superior invertible (porque estamos en la característica cero y $m$ es invertible) , por lo que debemos tener $N=0$ . En otras palabras, $A=D$ ya es diagonal. En otras palabras, $A$ es diagonal hasta el cambio de bases, lo que significa que es diagonalizable.