Deje $(Y_1, \ldots, Y_n)$ $[0,1]^n$con valores aleatorios vectoriales y $U_1, \ldots, U_n$ independiente de variables aleatorias uniformemente distribuidas en $[0,1]$, e independiente de la $(Y_1, \ldots, Y_n)$. Para algunos fijos $j \in \{1, \ldots, n\}$ considera la variable aleatoria $X := \mathbb{1}_{\{U_j \leq Y_j\}}$. A continuación quiero mostrar que $$ \mathbb{E}[X \vert \sigma(Y_1, \ldots, Y_n)] = \mathbb{E}[X \vert \sigma(Y_j)]. $$ Para probar esto, he pensado que puede utilizar el resultado, que si $\mathcal{F}$ es independiente de $\sigma(\mathcal{G},\sigma(X))$, luego $$ \mathbb{E}[ X \vert \sigma(\mathcal{F},\mathcal{G}) ] = \mathbb{E}[X \vert \mathcal{G}]. $$ De ahí nos pusimos $\mathcal{G} : = \sigma(Y_j)$$\mathcal{F} : = \sigma(Y_i \colon i \in \{1, \ldots, n\} \setminus \{j\} )$. A continuación,$\sigma(\mathcal{F},\mathcal{G}) = \sigma(Y_1, \ldots, Y_n)$. Ahora queda demostrar que $\mathcal{F}$ es independiente de $$ \sigma(\mathcal{G},\sigma(X)) = \sigma(Y_j,\mathbb{1}_{\{ U_j \leq Y_j \}}). $$ Pero yo sólo sé que $U_j$ es independiente de $\mathcal{F}$. No sé nada acerca de $Y_j$$Y_i$$i \neq j$. ¿Cómo puedo segura de esto?
Respuesta
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Davide Giraudo
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Si $V$ y $W$ son dos vectores independientes (decir de dimensión $m$ y $k$) y $f\colon\mathbb R^m\times \mathbb R^k\to\mathbb R $ es mensurable, entonces $ $$\mathbb E\left[f\left(V,W\right)\mid \sigma\left(W\right) \right]=g\left(W\right) $de % que $g$ se define por $$ g\left(w_1,\dots,w_k\right)=\mathbb E\left[f\left(V,w_1,\dots,w_k\right) \right].$ $ esto aplica para los siguientes casos:
- $m=1$, $k=n$, $f\left(v,w_1,\dots,w_n \right) =\mathbf 1\left{v\leqslant w_j \right}$, $V=U_j$ y $W=\left(Y_1,\dots,Y_n\right)$.
- $m=k=1$, $f\left(v,w \right) =\mathbf 1\left{v\leqslant w\right}$, $V=U_j$ y $W= Y_j$.
