Encontrar un elemento$x$ de un espacio de Hilbert con$\|Tx\|=\|T\|$

Question

Que $T:X\to Y$ ser un operador lineal acotado entre el % de espacios de Hilbert $X$y $Y$.

¿Siempre hay un $x \in X$ $|x|_X=1$, que $|Tx|_Y = |T|$?

Supongo que esto no es siempre el caso, pero no puede pensar de un ejemplo donde esto no sucede.

Answer 1

Que $T:\ell^2\to\ell^2$, con $$T(x_1,\dots x_n,\dots)=\left(\frac{x_1}{2},\frac{2x_2}{3},\frac{3x_3}{4},\dots\frac{nxn}{n+1},\dots\right).$$ Then, $$\sum{n=1}^{\infty}\left(\frac{nxn}{n+1}\right)^2\leq\sum{n=1}^{\infty}x_n^2,$$ therefore $ \ | T\ | \leq 1$. On the other hand, $$|Te_n|=\left|\frac{ne_n}{n+1}\right|\to 1,$$ therefore $ \ | T|=1$. However, there is no $x\in\ell^2$ with $|x|=1$ such that $| Tx\ | = 1$.