¿Cuándo es $2^{2n+2}+2^{m+2}+1$ ¿un cuadrado perfecto?

Question

Dejemos que $m,n$ sean números naturales que satisfagan $m\leq 2n$ . ¿Es cierto que $$2^{2n+2}+2^{m+2}+1$$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $m=n$ ?

Lo que he intentado: Bajo el supuesto de que $m<n$ He intentado "apretar" el número anterior entre dos cuadrados consecutivos, lo que implica que no puede ser un cuadrado perfecto. Esto funciona bien porque (escribiendo $P(m,n)=2^{2n+2}+2^{m+2}+1$ ), tenemos $(2\cdot2^n)^2<P(m,n)<(2\cdot2^n+1)^2$ . Pero este método no funciona cuando $\frac{m}{2}\leq n<m$ y me pregunto si hay algún par $(m,n)$ con $m\ne n$ haciendo $P(m,n)$ un cuadrado perfecto.

Cualquier consejo es bienvenido.

Answer 1

Supongamos que $m>n$ y $k$ es un número entero tal que $$(2^{n+1}+k)^2= 2^{2n+2}+2^{m+2}+1.$$ Esto significa que $$2^{n+2}k+k^2=2^{m+2}+1$$ así que $$(k-1)(k+1)=k^2-1=2^{n+2}(2^{m-n}-k).$$ Tenga en cuenta que claramente $k$ debe ser impar y $\gcd(k-1,k+1)=2$ Así que, o bien $k-1$ o $k+1$ es divisible por $2^{n+1}$ . Desde $k>1$ (si $k=1$ tendríamos $m=n$ ), esto significa que $k\geq 2^{n+1}-1$ . Introduciendo esto en la segunda ecuación anterior se obtiene $$2^{m+2}+1\geq 2^{n+2}(2^{n+1}-1)+(2^{n+1}-1)^2=2^{2n+3}+2^{2n+2}-2^{n+3}+1.$$ Mientras $n\geq 1$ (el caso $n=0$ es trivial) tenemos $2n+2\geq n+3$ por lo que podemos concluir $$2^{m+2}\geq 2^{2n+3}$$ y por lo tanto $m\geq 2n+1$ .

Así, si $n<m\leq 2n$ , entonces no existe tal número entero $k$ puede existir y $2^{2n+2}+2^{m+2}+1$ no es un cuadrado perfecto.

Answer 2

Dejemos que $$2^{2n+2}+2^{m+2}+1=(2k+1)^2\text{where}\; k\ge 2\\ \implies 2^{2n}+2^m=k^2+k$$ Para $m=2n$ , $2^{m+1}=k(k+1)$ . Todos los factores de $2^{m+1}$ no son más que uno de $k$ y $k+1$ es impar. Por lo tanto, $m\neq 2n$

Para $m\lt 2n$ , $2^m(2^{2n-m}+1)=k(k+1)$ Los factores de ambos lados son coprimas. Así que $k=2^m$ y $k+1=2^{2n-m}+1\implies m=n$

O $k=2^{2n-m}+1$ y $k+1=2^m$ lo que significa $k$ es uno más y uno menos que las potencias de $2$ que sólo es posible si $k=3\implies n=\frac32$ que es imposible.

Por lo tanto, $2^{2n+2}+2^{m+2}+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $m=n$