¿Una combinación de los vectores de una base de un espacio es también una base de ese espacio?

Question

Supongamos que $B = \{x, y, z\}$ es una base de un espacio subvectorial $V$ en $\mathbb{R^n}$ .

1. Es el conjunto de vectores $C = \{x+y, y+z, z+x\}$ una base de $V$ ?

2. Es el conjunto de vectores $C = \{2\cdot y + z + 3\cdot x, 3\cdot y + z - x, y - 4\cdot x\}$ una base de $V$ ?

3. Es el conjunto de vectores $C = \{x + z, y - z\}$ una base de $V$ ?

4. Es el conjunto de vectores $C = \{y, y + z, z + y + x, x\}$ una base de $V$ ?

Siempre intento responder a las preguntas que planteo aquí, pero no tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Hay algún tipo de conexión entre la combinación de vectores en una base? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Guía:

• Lo primero que hay que comprobar, ya que $B$ tiene $3$ vectores, para ser una base, debe tener exactamente $3$ elementos. Si no es así, no puede ser una base.

• A continuación, para que sean una base, comprueba que son linealmente independientes.

Por ejemplo, para la primera serie.

$$a(x+y)+b(y+z)+c(z+x)=0$$

$$(a+c)x+(a+b)y+(b+c)z=0$$

Desde $\{x,y,z\}$ es una base, tenemos

$$a+c=0$$ $$a+b=0$$ $$b+c=0$$

Trate de encontrar si sólo tienen la solución trivial, si lo hace, entonces es linealmente independiente y por lo tanto forma una base. Si no es linealmente independiente, entonces no es una base.

Primera respuesta:

Sí

Answer 2

Sugerencia (para la primera): deje que $C=\{u,v,w\}$ donde $\,u=x+y\,$ , $\,v=y+z\,$ , $\,w=z+x\,$ entonces por álgebra simple $\,x=(u-v+w)/2\,$ , $\,y=(u+v-w)/2\,$ , $\,z=(-u+v+w)/2\,$ . Este último da el cambio explícito de transformación de base, y también demuestra que cualquier combinación lineal de $\,x,y,z\,$ puede escribirse como una combinación lineal de $\,u,v,w\,$ .

Answer 3

Obsérvese que el subespacio V es un espacio tridimensional.

He aquí las preguntas y respuestas.

1)¿Es el conjunto de vectores C = {x+y, y+z, z+x} una base de V?

Sí, porque la matriz de esta transformación es no singular.

2) ¿Es el conjunto de vectores C = {2y + z + 3x, 3y + z - x, y - 4x} una base de V?

Sí, porque la matriz de esta transformación es no singular.

3)¿Es el conjunto de vectores C = {x + z, y - z} una base de V?

No, porque necesitas tres vectores en tu base.

4)¿Es el conjunto de vectores C = {y, y + z, z + y + x, x} una base de V?

No, estos cuatro vectores no pueden ser linealmente independientes en un espacio tridimensional.

Answer 4

Considera la matriz: $$B=\begin{bmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ x_n&y_n&z_n \end{bmatrix}$$ $\mathcal B $ es una base de V si y sólo si la matriz $B$ tiene rango $3$ . Un conjunto de tres combinaciones lineales de estos vectores corresponde a multiplicar $B$ a la derecha por un $3\times 3$ matriz, y este conjunto es una base de V si y sólo si se multiplica por una invertible matriz.

• El primer conjunto resulta de una multiplicación por la matrx $M=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}$ que tiene determinante $2$ por lo que sí, obtenemos una base de $V$ .
• Para el segundo conjunto, multiplicamos por $M=\begin{bmatrix}3&-1&0\\2&3&1\\1&1&-4\end{bmatrix}$ que tiene determinante $-24$ .
• Para el tercer conjunto, no podemos obtener una base ya que no tiene el número de vectores necesario. Sin embargo resulta de multiplicar a la derecha por el $3\times 2$ matriz $\;\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&-1\end{bmatrix}$ de rango $2$ por lo que podemos decir que los vectores obtenidos son linealmente independientes.
• El cuarto conjunto de vectores tiene demasiados vectores para ser una base.

Answer 5

Una matriz lleva una base a otra base si y sólo si es no singular (y en este caso cambia realmente de base desde la base formada por las columnas de la matriz a la base estándar).

En 1) la matriz es $$\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{bmatrix}$$ . El rango es $3$ Así que la respuesta es sí.

En 2) la matriz es $$\begin{bmatrix}3&-1&-4\\ 2 &3&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}$$ . De nuevo, por reducción de filas, o calculando el determinante (=0), se puede ver que es una matriz singular. Así que no.

Como señala @saulspatz, puedes descartar 3) y 4).