En matemáticas, ¿existe una teoría que se ocupe de la distribución de los números?

Question

En primer lugar, me cuesta expresar mi pregunta. (El inglés es mi segunda lengua y no tengo formación matemática. Si sabes lo que quiero decir, por favor, edita la pregunta).

Supongamos, $a_{1,n} ; a_{2,n} ; a_{3,n} ;a_{4,n}; ...$ de la serie. Todos los elementos incluidos en estas series son Números Naturales: $\left\{a_{1,n} ; a_{2,n} ; a_{3,n} ;a_{4,n}; ....\right\}\in \mathbb{Z^{+}}.$

Me gustaría poner un ejemplo antes de formular mi pregunta.

$a_{1,n}= \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,... \right\}$

$a_{2,n}=\left\{1,3,4,5,6,7,8,9,13,15,17,19,20...\right\}$

$a_{3,n}=\left\{1,5,7,9,11,14,19,20...\right\}$

Vemos que, para la secuencia $a_{1,n}$ la distribución de los números es más "ordenada" que para la secuencia $a_{2,n}.$ Para la secuencia $a_{2,n}$ la distribución de los números es más "ordenada" para la secuencia $a_{3,n}.$ Por "ordenada", me refiero al asentamiento más denso de los números enteros positivos. Podemos definir la secuencia de $a_{1,n}$ como el "más ordenado" secuencia.

Por ejemplo: Los números en secuencia $a_{4,n}$ se distribuyen de forma más "ordenada" que a partir de la secuencia $a_{5,n}.$

$a_{4,n}=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,15,17,19,21,23,25 ...\right\}$

$a_{5,n}=\left\{1,7,9,13,17,19,21,23,25...\right\}$

¿Cómo puedo decir que la secuencia de $a_{3,n}$ es más "ordenado" que la secuencia de $a_{5,n}?$

No puedo decir qué secuencias/series son más "ordenado" porque no tengo ningún criterio matemático para hacerlo. ¿Existe alguna teoría que se ocupe de la distribución de los números enteros positivos? Por ejemplo, ¿qué secuencia de números es más "¿Distribución ordenada?"

Answer 1

No estoy seguro de interpretar bien tu pregunta, pero creo que lo que buscas puede ser algo que se llama complejidad algorítmica (u otros nombres que puedes ver aquí ), aplicado a una secuencia de números enteros.

Intuitivamente:

la complejidad de una secuencia de números es la longitud mínima de un programa que genera exactamente esta secuencia.

Como ejemplo, para su secuencia $a_{1,n}$ puedes pensar en algo como:

1) escribir $1$

2) memorizar el número escrito

3) escribir el número memorizado $+1$

4) pasar a 2)

Se trata de un simple ''programa'' que, en algún lenguaje de programación puede reducirse a una longitud mínima, y se supone que ésta es la ''complejidad'' de la secuencia.

Las otras secuencias de tu ejemplo pueden ser generadas por otros programas con diferente longitud mínima, por lo que podemos comparar las ''complejidades'' de diferentes secuencias.

La máxima complejidad se da, en dicho contexto, para una secuencia que no puede ser ''comprimida'' en algún conjunto de reglas que genere todos los números de la secuencia. Este es el caso si elegimos ''aleatoriamente'' cualquier elemento de la secuencia de manera que no podemos escribir un programa que genere los números, sino que sólo podemos enumerarlos todos.

Todo esto le da sólo un sabor parcial (no riguroso en absoluto) de la fascinante teoría que fue desarrollada por Kolmogorov y Chaitin en los años '60 donde nos encontramos con muchas preguntas sobre la complejidad, la aleatoriedad y la incompletitud.

Answer 2

Su línea de pensamiento se estudia en el cálculo bajo los temas de secuencias y subsecuencias. En tus ejemplos, el $$ a_{1,n}= \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25... \right\}$$

se llama una secuencia $ (a_n)$ definido por $$a_n=n$$ for $n=1,2,3,...$

La próxima $$a_{2,n}=\left\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25...\right\}$$

es una larga denotado por $$a_{2n-1}$$ and the next one $$a_{3,n}=\left\{1,5,9,13,17,21,25...\right\}$$

se denota por a $$a_{4n-3}$$

Observe que en una adecuada subsequence de una secuencia, el orden se conserva y nos estamos saltando algunos términos.

No siempre es posible recuperar la secuencia de forma que uno de sus subsecuencias.