Demuestra que $AB=BA$

Question

Sea $E$ un espacio de Hilbert complejo

Sean $A,B\in \mathcal{L}(E)^+$. Supongamos que existe $z\in \mathbb{C}^*$ tal que $AB=zBA$. ¿Por qué $$AB=BA\;?$$

Answer 1

Si $AB=0$ o $BA=0$, ya has terminado. De lo contrario, a partir de $BA=|z|^2BA$, se obtiene que $|z|=1.

Tenemos $$\{0\}\cup\sigma(BA)=\{0\}\cup\sigma(AB)=\{0\}\cup\sigma(zBA) =\{0\}\cup z\,\sigma(BA). $$ Entonces $$\tag1\lambda\in\sigma(BA)\iff z\lambda\in\sigma(BA). $$ También tenemos, usando que $\{0\}\cup\sigma(TS)=\{0\}\cup\sigma(ST)$,
$$\tag2 \{0\}\cup\sigma(BA)=\{0\}\cup\sigma(B^{1/2}(B^{1/2}A))=\{0\}\cup\sigma(B^{1/2}AB^{1/2})\subset[0,\infty). $$ Observa que $\sigma(BA)\ne\{0\}$. Porque si $\sigma(BA)=\{0\}$, entonces (2) da $\sigma(B^{1/2}AB^{1/2})=\{0\}$; pero este es un operador positivo, así que obtendríamos $B^{1/2}AB^{1/2}=0$, lo cual es lo mismo que $(A^{1/2}B^{1/2})^*A^{1/2}B^{1/2}=0$, entonces $A^{1/2}B^{1/2}=0$ lo que a su vez da $AB=0$, y luego $BA=0.

Ahora, usando $(2)$, tomemos $\lambda>0$ con $\lambda\in \sigma(BA)$. Entonces, de $(1)$, $z\lambda\in(0,\infty)$, lo que implica $z\in (0,\infty)$. Entonces $z$ es un número real positivo con $|z|=1$, es decir, $z=1.