Ejemplo de un functor que no refleja el isomorfismo

Question

Estoy leyendo el texto Category theory in context de Emily Riehl, y tengo problemas para encontrar un ejemplo preguntado sobre el ejercicio $1.3.viii.$ : demostrar que los funtores no necesitan reflejar isomorfismos, es decir, encontrar un functor $F:C\rightarrow D$ y un morfismo $f$ en $C$ para que $Ff$ es un isomorfismo en $D$ pero no es un isomorfismo en $C$ .

Sé que un functor no conservador de $Top$ a $Set$ podría funcionar, pero no puede encontrar el morfismo adecuado.

Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Un contraejemplo muy genérico:

Toma para $\mathcal{D}$ la categoría con un objeto $O$ y un morfismo $f$ . Existe un functor $F$ de cualquier categoría a $\mathcal{D}$ que envía cada objeto a $O$ y cualquier morfismo a $f$ .

Desde $f$ es un isomorfismo esto genera un contraejemplo para cada categoría que contiene al menos un morfismo que no es un isomorfismo.

Answer 2

Basta con tomar el functor olvidadizo $F$ de $\mathit{Top}$ a $\mathit{Set}$ . Entonces, toma una biyección $f$ entre dos espacios topológicos que no es un homeomorfismo. Por supuesto, $Ff$ será un isomorfismo.

Answer 3

La homología y los funtores de homotopía son ejemplos muy naturales de ello.

Answer 4

Sugerencia : mira cualquier biyección continua que no sea un homeomorfismo.