La forma canónica de Jordan es extremadamente importante en la teoría de la estructura de los grupos algebraicos lineales.
Los grupos algebraicos son de interés en muchas áreas de las matemáticas puras, apareciendo en la teoría de la representación, la geometría algebraica, la teoría de números y la geometría diferencial (un grupo algebraico es el análogo algebro-geométrico de un grupo de Lie, y de hecho todos los grupos de Lie clásicos pueden considerarse grupos algebraicos), .
Para facilitar la vida, supongamos que $k$ es un campo algebraicamente cerrado, y consideramos el grupo $\operatorname{GL}_n$ de $n$ por $n$ matrices invertibles con entradas en $k$ . Entonces $\operatorname{GL}_n$ tiene una topología, llamada Topología de Zariski cuyos conjuntos abiertos básicos son de la forma
$$\{ (x_{ij}) \in \operatorname{GL}_n : \frac{f(x_{ij})}{\det(x_{ij})^m} \neq 0 \}$$
donde $f$ es un polinomio en $n^2$ variables con coeficientes en $k$ y $m$ es un número entero no negativo. A grupo algebraico lineal es un subgrupo cerrado de algún $\operatorname{GL}_n$ .
Ejemplos: $\operatorname{GL}_1$ es simplemente el grupo de elementos no nulos de $k$ . $\operatorname{SL}_n$ es el grupo de matrices de determinante uno. $\operatorname{SO}_n$ es el grupo de matrices de determinante uno cuya inversa es su transposición.
Dejemos que $G \subseteq \operatorname{GL}_n$ y $H \subseteq \operatorname{GL}_m$ sean grupos algebraicos lineales. Un morfismo de grupos algebraicos es un homomorfismo de grupo $f: G \rightarrow H$ que también es un morfismo de variedades. Es decir, para cada $(x_{ij}) = x \in G$ , $f(x)$ le devuelve un $m$ por $m$ y las entradas de esta matriz deben ser funciones de $x$ de la forma $\frac{f(x_{ij})}{\det(x_{ij})^p}$ para $f$ un polinomio y $p \geq 0$ .
Esta es una manera de enunciar la forma canónica de Jordania.
Teorema : Dejemos que $A$ ser un $n$ por $n$ matriz. Hay matrices únicas $A_s$ y $A_n$ , de tal manera que $A_s$ es diagonalizable, $A_n$ es nilpotente, $A_s A_n = A_nA_s$ y $A = A_s + A_n$ .
Y aquí está la versión "multiplicativa" de la forma canónica de Jordan, que se deriva directamente de la versión habitual.
Teorema : Dejemos que $g \in \operatorname{GL}_n$ . Hay matrices únicas $g_s, g_u$ tal que $g_s$ es diagonalizable, $g_u$ es unipotente (es decir $I - g_u$ es nilpotente), y $g = g_sg_u = g_u g_s$ .
Aquí tenemos un teorema notable para grupos algebraicos lineales, que es falso para subgrupos arbitrarios de $\operatorname{GL}_n$ :
Teorema notable : Dejemos que $G \subseteq \operatorname{GL}_n$ sea un grupo algebraico lineal. Sea $g \in G$ . Entonces $g_s$ y $g_u$ están en $G$ .
Referencia: T.A. Springer, Grupos algebraicos lineales Teorema 2.4.8
No hay ninguna razón inmediata para que $G$ debe contener las matrices $g_s$ y $g_u$ . Aunque $g \in G$ las matrices $g_s$ y $g_u$ son a priori sólo algunos $n$ por $n$ matrices invertibles que se multiplican a $g$ . Sin embargo, $G$ debe contenerlos.
Además, la noción de que un elemento de un grupo algebraico lineal es diagonalizable, o unipotente, existe independientemente de una realización particular de $G$ como un grupo de matrices ¡! Es decir, si $H \subseteq \operatorname{GL}_m$ es un grupo algebraico lineal, y $\phi: G \rightarrow H$ un isomorfismo de grupos algebraicos, entonces para cada $g \in G$ tenemos $\phi(g_s) = \phi(g)_s$ y $\phi(g_u) = \phi(g)_u$ . Así, $\phi(g_s)\phi(g_u)$ es la descomposición de Jordan de $\phi(g)$ .
Para ver un ejemplo de cómo se utiliza la forma canónica de Jordan en la teoría de la estructura, veamos $G$ sea un grupo algebraico lineal conexo y resoluble (por ejemplo, matrices triangulares superiores con elementos diagonales no nulos). Sea $G_u$ sea el conjunto de elementos unipotentes de $G$ (como se mencionó en el párrafo anterior, la noción de que un elemento es unipotente no depende de la realización específica de $G$ como grupo de matrices). Existen subgrupos máximos cerrados y conexos de $G$ formado por elementos diagonalizables, llamados tori maximalista y si $T$ y $S$ son dos toros máximos de $G$ entonces existe un $g \in G$ tal que $gTg^{-1} = S$ . Entonces $G_u$ es un subgrupo cerrado, conexo y normal de $G$ y si $T$ es cualquier toro maximal de $G$ entonces $G$ es el producto semidirecto de $G_u$ y $T$ . (Referencia: Springer 6.3.5)
