¿Es lineal la $y=mx+b$?

Question

Considere la posibilidad de $f(x) = mx+b$. Deje $b\ne 0$

1. Si $f$ es lineal, $f(0)$ rendimiento $0$

2. $f(0) = m(0)+b = b$

3. Por lo tanto, $f(x)=mx+b$ es no lineal.

Pregunta:

¿Por qué es $y=mx+b$ llama "ecuación lineal"?

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Comentario:

Considere la posibilidad de $f(x,y) = y + -mx = b$

\begin{align} \alpha f(x,y) &= \alpha b \\ f(\alpha x,\alpha y) &= \alpha y +-\alpha mx = \alpha (y +-mx) =\alpha b \end{align}

\begin{align} f(x+\beta,y+\beta) &= y + \beta+ - m (x +\beta) \\&= (y+-mx)+(\beta +-m\beta)\\ &= f(x,y)+ f(\beta,\beta) \end{align}

Por lo tanto, $f(x,y) = y +-mx$ $f(x,y) =b$ son lineales.

Pregunta:

Por qué no es esto una contradicción?

Answer 1

La palabra "lineal" se utiliza en las matemáticas de muchas maneras diferentes. Una "ecuación lineal" no es lo mismo que una "función lineal" o un "lineal funcional" o un "mapa lineal" o etcetera.

Answer 2

Coloquialmente, las ecuaciones de la forma $y=mx+b$ son llamados lineal, debido a que geométricamente representan rectas líneas en el plano Cartesiano.

Rigurosamente (especialmente en matemáticas avanzadas campos como el análisis funcional), dichas funciones se denominan generalmente afín, y el adjetivo lineal está reservado para el caso de $b=0$.

Al parecer, una ligera contradicción surge de la utilización de estos términos. Tratar con él.

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Como para la observación, la función de $f(x,y)=y-mx$ es lineal, de hecho (en el sentido riguroso de la palabra), como una función de la $\underline{\text{two}}$ variables $(x,y)$. Sin embargo, lo que la expresión $$f(x,y)=y-mx=b$$ defines is not a function; it is a restriction imposing that the linear function $f(x,y)=y-mx$ must take the value $b$. If you rearrange this restriction, you get $y=mx+b$, which gives $y$ as a function $x$. This resulting new function of $\underline{\text{one}}$ variable, $g(x)=mx+b$, is not linear anymore (unless $b=0$)pero afín.

Answer 3

Esta es una peculiar falta de coherencia de la terminología que estamos probablemente atascado con en cuenta de la prevalencia del término lineal para referirse a las relaciones como (el uno entre el$x, y$) $y = m x + b$ en la educación secundaria. (Me gustaría de todos modos todavía llaman a esto una ecuación lineal: podemos reescribir esta ecuación como $$\pmatrix{-m & 1}\pmatrix{x \\ y} = b,$ $ , que es un sistema lineal en la norma de la matriz de forma que pasa a corresponder a una sola ecuación.)

En el aislamiento, lineal es un buen término para este tipo de relaciones: Uno puede adivinar su etimología por la inspección---latina en linea, el significado de la línea---y seguramente se refiere a la forma de la gráfica de esta ecuación.

Por otro lado, como la que se observa, esto entra en conflicto con la noción de linealidad en álgebra lineal, en el sentido de que $T(x) := m x + b$ es una transformación lineal iff $T(0) = b = 0$. En ese entorno, que en lugar de llamar a esas transformaciones afines: Más precisamente, se dice que una transformación de $S : \Bbb V \to \Bbb W$ entre espacios vectoriales es afín iff no es una transformación lineal $T: \Bbb V \to \Bbb W$ y un elemento $w \in \Bbb W$ tal que $S(v) = T(v) + w$ todos los $v \in \Bbb V$.

Comentario todavía podemos sentido afín transformaciones lineales utilizando un estándar de "incrustar" truco: La definición anterior implica que el espacio de transformaciones afines $\Bbb V \to \Bbb W$ es en sí mismo un espacio vectorial, isomorfo a $(\Bbb W \otimes \Bbb V^*) \oplus \Bbb W$. Ahora, podemos codificar el general de la transformación afín $S(v) = T(v) + w$ como la transformación lineal $\Bbb F \oplus \Bbb V \to \Bbb F \oplus \Bbb W$ con bloque de representación de la matriz de $$[S] = \pmatrix{1 & 0 \\ w & T},$$ que tiene la siguiente característica: Si identificamos $x \in \Bbb V$$[x] := \pmatrix{1 \\ x} \in \Bbb F \oplus \Bbb V$, y, asimismo,$y \in \Bbb W$$[y] = \pmatrix{1 \\ y} \in \Bbb F \oplus \Bbb W$, luego tenemos $$[S] [x] = \pmatrix{1 & 0 \\ w & T} \pmatrix{1 \\ x} = \pmatrix{1 \\ T(x) + w} = \pmatrix{1 \\ S(x)} = [S(x)].$ $ , En definitiva, que han explotado el hecho de que la restricción de una transformación lineal para cualquier subespacio afín es una transformación afín y, para una determinada transformación afín, cocinado una transformación lineal de lo que es una restricción.

Answer 4

No es una contradicción porque $f(x) $ y $f(x,y)$ no son la misma cosa.

Había definido $f(x,y)=y-mx-b=0 $ habría deducido que $f(x,y)$ era no lineal.

Es todo una cuestión de tiempo o no incluir la constante $b$ en su definición de $f$

Answer 5

Hay muchas definiciones de "lineal", en el lenguaje coloquial de las matemáticas, y uno formal de las matemáticas.

En el lenguaje coloquial en matemáticas, una función lineal es una función en $\mathbb{R}$ tal que $f(x)=ax+b$ donde $a,b\in\mathbb{R}$.

En un sentido formal, una función lineal es una función $f$ define a partir de un espacio vectorial $V$ a otro, $W$ (Sobre un campo $F$), tal que: $$f(u+v)=f(u)+f(v),u,v\in V$$ Y $$f(\alpha u)=\alpha f(u),\alpha\in F$$

Claramente la definición coloquial no coinciden con esto. Formalmente, el coloquial función lineal se llama un Afín a la cartografía, la función, la transformación, etc.

Acerca de la segunda parte, si usted lo considera como una función de 2 variables, puede convertirse en una forma lineal. Pero creo que estaría hablando de cosas diferentes, la primera como una función de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, la segunda como una función de$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}$.