Magdalenas de probabilidad condicional

Question

Este es un problema de palabras muy interesante que encontré en un antiguo libro de texto mío. Sé que tiene algo que ver con la probabilidad condicional, que produce las pruebas más cortas y sencillas, pero aparte de eso, el libro de texto no da ninguna pista y no estoy seguro de cómo abordarlo. Cualquier pista o ayuda sería muy apreciada. Gracias de antemano :) En fin, aquí va el problema:

Dos cajas contienen cada una $4$ pastelitos.

Una caja tiene $3$ chocolate y $1$ vainilla, y la otra caja tiene $2$ chocolate y $2$ de vainilla.

Se selecciona una caja al azar, se abre y se elige una magdalena al azar.

Esta primera magdalena es de vainilla.

Si se selecciona al azar otra magdalena de la misma caja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de vainilla?

Mi trabajo hasta ahora:

Si elegimos una caja al azar, y escogemos una magdalena de vainilla, entonces hay un $\frac23$ probabilidad de que hayamos elegido la segunda caja. ( $2$ oportunidades por haber recogido vainilla de allí, contra $1$ de $1$ ), y $\frac13$ para la primera caja.

Si escogiéramos la primera caja, las posibilidades de $2nd$ la vainilla son $0$ ya que no hay ninguno, así que $\frac13 × 0$ por eso.

Ahora estoy atascado.

Answer 1

Definir los acontecimientos:

$v_1$ : se selecciona en primer lugar una magdalena de vainilla

$v_2$ : se selecciona una magdalena de vainilla en el segundo

$b_1$ : se selecciona una magdalena de vainilla de la caja 1

$b_2$ : se selecciona una magdalena de vainilla de la caja 2

Se pregunta sobre $P(v_2|v_1)=\frac{P(v_1 \cap v_2)}{P(v_1)}$

$P(v_1 \cap v_2)$ : Probabilidad de que se seleccionen dos magdalenas de vainilla.

Es imposible seleccionar dos magdalenas de la caja 1.

Así, $P(v_1 \cap v_2)=p(b_2)\cdot P(v_1)\cdot p(v_2|v_1)=0.5\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$

$P(v_1)=P(b_1)\cdot P(v_1|b_1)+ P(b_2)\cdot P(v_1|b_2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$

Por lo tanto, $P(v_2|v_1)=\frac{1}{12}\cdot \frac{8}{3}=\frac{2}{9}$

Answer 2

Definamos los siguientes eventos: el evento de elección de la primera caja es $B_1$ el caso de que se elija la segunda casilla es $B_2$ el caso de que el primer pastel sea de vainilla es $V_1$ el caso de que el segundo pastel (de la misma caja) sea de vainilla es $V_2$ . Lo que quiere encontrar es exactamente $\Pr(V_2 | V_1)$ .

En primer lugar, tenemos, por definición, \begin{align} &\Pr(V_2 | V_1) = \frac{\Pr(V_1, V_2)}{\Pr(V_1)} \end{align}

A continuación, encontramos esas dos probabilidades en el lado derecho, \begin{align} \Pr(V_1, V_2) &= \Pr(V_1, V_2, B_1) + \Pr(V_1, V_2, B_2) \\ &= \Pr(V_1, V_2 | B_1) \cdot \Pr(B_1) + \Pr(V_1, V_2 | B_2) \cdot \Pr(B_2) \\ &= 0 + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{12} \end{align} y \begin{align} \Pr(V_1) &= \Pr(V_1 | B_1)\cdot\Pr(B_1) + \Pr(V_1 | B_2)\cdot\Pr(B_2) \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{3}{8} \end{align}

Answer 3

Trabajando con la condición de que el primer pastel elegido sea de vainilla: dejemos $E$ denotan el caso de que la caja elegida al azar contenga otra vanillacake.

Hay $3$ vanillacakes que pueden haber sido elegidos con igual probabilidad y en $2$ de estos casos la caja contiene otra vanillacake (exactamente una).

Esto nos dice que $P\left(E\right)=\frac{2}{3}$ .

Si $V$ denota el caso de que el segundo pastel seleccionado sea una tarta de vainilla. Entonces $$P\left(V\right)=P\left(V\mid E\right)P\left(E\right)+P\left(V\mid E^{c}\right)P\left(E^{c}\right)=\frac{1}{3}\frac{2}{3}+0\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$$

Aquí $P(V\mid E)=\frac13$ porque en el evento $E$ exactamente $1$ de la $3$ Los pasteles que quedan por elegir son los de vainilla.

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De hecho, este es tu propio enfoque, lo cual está bien, excepto que no lo has completado.

Answer 4

Te has dado cuenta de que P(la primera vainilla vino de la caja 2) = $\frac{2}{3}$ ,

y que sólo la 2ª casilla puede contribuir a la probabilidad indicada.

"Ahora estoy atrapado".

Continúe con el $\frac{2}{3} \times$ P(sacar otra vainilla de la caja 2) = $\frac{2}{3}\times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$