¿Cómo integraría$\int_{0}^1 \frac{1-\cos x}{x^2}\,dx$

Question

¿Cómo integraría$$\int_{0}^1 \frac{1-\cos x}{x^2}\,dx?$ $

Estoy tratando de ver si esto diverge o converge por cierto. ¡Cualquier ayuda de esa manera sería genial!

Answer 1

Yo creo que no se puede expresar esta integral en términos de funciones elementales. De lo contrario se habría encontrado una manera de expresar el pecado integral en términos de funciones elementales.

Tenemos:

$$ \int_{0}^1\frac{1-\cos x}{x^2} $$

Podemos integrar por partes. Deje $u = 1-\cos x$ $v'=\frac{1}{x^2}$ dar $u' = \sin x$$v = \frac{-1}{x}$.

Así tenemos:

$$ \begin{align} \int_{0}^1\frac{1-\cos x}{x^2} &= \left .\frac{\cos x-1}{x}\ \right \rvert_{0}^1 + \int_{0}^1\frac{\sin x}{x} \\ \end{align} $$

Esto nos deja con la búsqueda de la integral de $\sin x \over x$. Este es un conocido no primarias función llamada (creativa) la integral del seno, $\text{Si}(x)$, y se define como:

$$ \text{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sen t}{t}dt $$

Así tenemos:

$$ \begin{align} \int_{0}^1\frac{1-\cos x}{x^2} &= \left .\frac{\cos x-1}{x}\right \rvert_{0}^1 + \text{Si}(1) \\ &= \cos(1) - 1 + \text{Si}(1) \\ &\approx 0.486385 \end{align} $$

Nota: el término izquierda puede ser evaluado en $x=0$ tomando límites del término a 0.

Tengo el valor de $\text{Si}(1)$ el uso de la expansión de taylor. Alternativamente, usted podría haber comenzado con la expansión de taylor de la ecuación original pero involuntariamente han llevado a la expansión de taylor de $\text{Si}(1)$ en alguna forma.

Answer 2

$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2!}-\frac{x^2}{4!}+\frac{x^4}{6!}-\ldots \tag{1}$ $, por tanto, mediante la integración por término medio:$$ \int_{0}^{1}\frac{1-\cos x}{x^2}\,dx = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3\cdot 4!}+\frac{1}{5\cdot 6!}-\ldots = \sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cdot (2k+2)!} \tag{2}$ $ donde la última serie converge muy rápido y con signos alternativos. Solo necesita tomar cuatro o cinco términos para obtener una aproximación extremadamente precisa de la integral dada, no elemental, igual a$-1+\cos(1)+\text{Si}(1)$ mediante la integración por partes.

También puede usar la transformada de Laplace para indicar:$$ \int_{0}^{1}\frac{1-\cos x}{x^2}\,dx = \left(\frac{\pi}{2}-1+\cos(1)\right)+\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(1)+s\sin(1)}{(1+s^2)\,e^s}\,ds.\tag{3} $ $

Answer 3

Sugerencia: observe que$\cos x \leq 1$, por lo que su integrando no es negativo. Además, observe que$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = 1/2$

Answer 4

Según la sugerencia del Dr. MV, integre por partes \begin{align} \int\limits_{0}^{1} \frac{1-\cos x}{x^{2}} dx &= \lim_{a \to 0} \int\limits_{a}^{1} \frac{1-\cos x}{x^{2}} dx \\ &= \lim_{a \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\Big|_{a}^{1} + \int\limits_{a}^{1} \frac{\sin x}{x} dx \\ &= \cos(1) - 1 - \lim_{a \to 0} \frac{\cos a - 1}{a} + \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx \\ &= \cos(1) - 1 + \mathrm{Si}(1) \end {align}