Un posible Teorema

Question

Así que yo estaba jugando con los miembros de un azar de juego de poder, y llegué a una revelación(al menos para mí lo fue :)). Decir $A=\{1,2,3\}$, para arbitrario $k,n\in Z^+$, $n=|A|$ y $\mathscr{P}(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$, $|\mathscr{P}(A)|=2^n.$ Hay ${n\choose n-1}$ formas de elección ($n-1$)- elemento pone en $\mathscr{P}(A)$, de modo que s ${3\choose1}+{3\choose2}+{3\choose3}=7$, por lo que estamos corta por uno, jugando una vez más y nos ha $2{n\choose n}+{n\choose n-1}+{n\choose n-2}=2^n$ y generalizando: $2{n\choose n}+{n\choose k}+...+{n\choose k-(n-2)}=2^n$ $1\le k\le n-1$ .

Perdón por mi ignorancia pero es que hay un teorema para esto(si la ecuación es correcta) y es de esta manera en que la investigación en matemáticas se hace(si es que debe de ser muy emocionante!!!)

Answer 1

Las sumas que indican no son $2^n$ (tal vez comprobar algunos casos simples?), la identidad real es de $$ \sum_{k=0}^n{n\choose k} = 2 ^ n. $$ este es un caso del Teorema del binomio, que dice que $$ \sum{k=0}^n{n\choose k} x ^ k =(x+1) ^ n $$ y, más generalmente, que $$ \sum{k=0}^n{n\choose k} x ^ ky ^ {n-k} =(x+y) ^ n. lectura feliz de $$!