Hasta ahora los matemáticos han desarrollado muchas de las más poderosas pruebas sobre la convergencia de un resultado positivo de la serie (me refiero a $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ concretamente), tales como :
Cauchy de la Prueba
que trata con el límite superior de $\lambda_n=\sqrt[n]{a_n}$, pero no llega a nada cuando el límite superior es de $1$.
D'Alembert de la Prueba
que trata con el límite superior o inferior de $\lambda_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, pero no llega a nada cuando el límite superior $\ge1$ o el límite inferior $\le1$.
El Test de Raabe
que se ocupa de la $\lambda_n= n\Big(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\Big)$, pero no llega a nada al $\lim{\lambda_n}=1$.
Bertrand de la Prueba
que se ocupa de la $\lambda_n= (\ln n)\Big[n\Big(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\Big)-1\Big]$, pero todavía no llega a nada al $\lim\lambda_n=1$.
$$\vdots$$
Y en mis libros se dice, este progreso no termina nunca, "...siempre podemos ir y establecer una aún más potente de la prueba, con más complicada de la prueba, a pesar de..." yo realmente no sé cómo, pero ya que este no es el punto de mi pregunta, usted puede simplemente saltar.
Bien, de todos modos espero que usted puede tomar un vistazo de cerca a estas pruebas. Son realmente brillante en que se puede decir si la serie converge o de otra manera a base directamente en la información de $a_n$, que no será demasiado oscuro. Pero todavía NO son perfectos. Todos ellos son "si", pero no "iff". Quiero decir, todos ellos son de tal patrón:
La serie converge si $\lim \lambda_n$ bla, bla, bla, y diverge si $\lim \lambda_n$ bla, bla, bla. Lo peor es que, si ambos no nos CONOCEMOS de NADA!
Cómo espero que me podría reemplazar "si"s "iff"s, y deshacerse de la "no sabemos nada" caso!
Así que me estoy preguntando si no es una prueba perfecta de que:
(1) se basa directamente en $\lambda_n$ $a_n$ da lugar a
(2) es de tal patrón como:
La serie converge iff $\lim \lambda_n$ bla, bla, bla, y difiere iff $\lim \lambda_n$ bla, bla, bla. (Es decir, todo lo sabemos!)
Sé que hay sólo podría ser tenue esperanza, pero todavía estoy curioso. Cualquier ayuda será especialmente apreciado. Saludos!
Nota
En primer lugar, estoy sinceramente agradecido a toda la ayuda que ustedes me ofrecen. Sin embargo, me temo que tengo que hacer una nota aquí, porque muchas de las respuestas aquí publicados no son lo que estoy buscando. Bueno, yo estoy lejos de criticar, pero creo que me falta quizás para hacer mi pregunta más clara, por lo que soy no inducir a error a sus respuestas.
El problema es que algunas respuestas aquí, en realidad, no cumplen con el requisito (1) mencionado en mi pregunta. Por favor, lea (1) de cerca, quiero que la prueba se basa directamente en $\lambda_n$ que $a_n$ da lugar, como el $\lambda_n$s en las pruebas que se enumeran más arriba. En otras palabras, $\lambda_n$ debe ser inmediatamente accesible a través de $a_n$ o, $a_n$ da toda la inmediata información necesaria para escribir $\lambda_n$. Por lo tanto, $\lambda_n$ es una expresión que contiene a$a_n, a_{n+1}$, etc, etc. No quiero involucrar a la suma parcial en mi prueba, ni estoy buscando algo como una poderosa prueba de comparación, porque el conocimiento de la $a_n$ generalmente no nos permiten obtener el conocimiento de la suma parcial, o a encontrar otra $b_n$ para comparar. En definitiva, deseo de algo que se basa sólo y de inmediato en $a_n$. Gracias.
(Y, disculpas si mi post debe buscar demasiado prolijo. Yo no soy un hábil usuario en inglés)
