Acabo de leer a partir de Una introducción a la teoría de los grupos de Rotman el siguiente teorema:
Teorema 2.19. Deje $p$ ser una de las primeras. Un grupo de $G$ orden $p^n$ es cíclico si y sólo si es un grupo abelian tener un único subgrupo de orden $p$.
Prueba de la Necesidad de la siguiente manera a la vez del Lema 2.15. Por el contrario, vamos a $a \in G$ han pedido mayor, decir $p^k$ (de ello se sigue que $g^{p^k} = 1$ todos los $g \in G$). Por supuesto, el único subgrupo $H$ orden $p$ es un subgrupo de $<a>$. Si $<a>$ es un buen subgrupo de $G$, entonces no es$x \in G$$x \not \in <a>$, pero con $x^p \in <a>$; deje $x^p = a^l$ Si $k = 1$,$x^p = 1$$x \in H \subset <a>$, una contradicción; por consiguiente, podemos suponer que $k>1$. Ahora $$1 = x^{p^k}=(x^p)^{p^{k-1}}=a^{lp^{k-1}},$$ de modo que $l = pm$ para algunos entero $m$, por el Ejercicio 2.13. Por lo tanto, $x^ = a^{mp}$, y así $1 = x^{-p}a^{mp}$. Desde $G$ es abelian, $x^{-p}a^{mp} = (x^{-1}a^m)^p$, y por lo $x^{-1}a^m \in H \subset <a>$. Esto le da a $x \in <a>$, una contradicción. Por lo tanto, $G = <a>$ y, por tanto, es cíclico.
Como de costumbre, hay algunos trivial parte de la prueba que no entiendo: no veo por qué no "Si $<a>$ es un buen subgrupo de $G$, entonces no es$x \in G$$x \not \in <a>$, pero con $x^p \in <a>$", entiendo que el resto de la prueba. Agradecería que alguien me explicara esa declaración.
