Lucha en Sylow p-subgrupo

Question

Tengo problemas con el álgebra abstracta de Dummit y Foote Ex. 6.2 13:

Dejemos que $P,Q$ sea un grupo Sylow p distinto con un máximo $|P \cap Q|$ . Mostrar $N_G(P \cap Q)$ contiene más de un grupo Sylow p y cada par se cruza en $P \cap Q$ .

Es fácil mostrar la parte de la intersección. Dejemos que $A,B$ grupo Sylow p distinto de $N_G(P \cap Q)$ . Podemos encontrar el grupo Sylow p de $G$ : $A',B'$ s.t. $A \subseteq A'$ , $B \subseteq B'$ y claramente $A \cap B \subseteq A' \cap B'$ y $|A \cap B| \leq |P \cap Q|$ por elección máxima, y $P \cap Q \subseteq A \cap B$ porque A y B son conjugados para algún grupo Sylow p de $N_G(P \cap Q)$ R que contiene $P \cap Q$ (porque $P \cap Q$ es un grupo p) y como $P\cap Q$ es normal, $P\cap Q\leq A,B$ . Así que $P \cap Q=A \cap B$ .

Por encima, lo único que queda por mostrar es $N_G(P\cap Q)=P \cap Q$ es imposible. (Es fácil observar la unicidad de su grupo Sylow p y esta afirmación es equivalente).

Creo que tenemos que usar $|P\cap Q|$ es máxima para demostrar lo anterior. ¿Cómo mostrar esto? $N_G(P\cap Q)\neq P \cap Q$

Answer 1

Bueno, $N_G(P \cap Q)$ no puede ser un $p$ -grupo. Supongamos que lo es. Entonces podemos encontrar un $R \in Syl_p(G)$ , de tal manera que $N_G(P \cap Q) \subseteq R$ . Supongamos que $R \neq P$ . Entonces por el normalizadores-crecimiento principio aplicado a la $p$ -subgrupo $N_P(P \cap Q)$ de $P$ tenemos (y para la primera inclusión, nótese que $P \cap Q \subsetneq P$ ) $$ P \cap Q \subsetneq N_P(P \cap Q) = N_G(P \cap Q) \cap P \subseteq R \cap P. $$ Desde $|P \cap Q|$ es máxima, $|P \cap Q|=|R \cap P|$ lo que no puede ser el caso ya que la primera inclusión es estricta. Por lo tanto, $R=P$ y de manera similar se puede argumentar que $R=Q$ De ahí que $P=Q$ una contradicción.

Extra La pregunta es: ¿se puede demostrar que $N_P(P \cap Q)$ y $N_Q(P \cap Q)$ son diferentes Sylow $p$ -subgrupos de $N_G(P \cap Q)$ .