Actualmente estoy trabajando a través de "Una Introducción a Convexa Polytopes" por Arne Brondsted y hay una pregunta en los ejercicios que me gustaría un consejo, o un empujón en la dirección correcta, por favor, no soluciones completas (todavía)!
La pregunta es la siguiente,
Para cualquier subconjunto $M$$\mathbb{R}^d$, muestran que $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M})$ al $\textbf{0} \in \text{aff M}$, e $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M}) - 1$ al $\textbf{0} \notin \text{aff M}$.
Mi enfoque general ha sido hasta ahora para tratar e interpretar la dimensión de los afín casco aff $M$ en términos de las afín a base de $M$ y el lineal casco span $M$ en términos de la base lineal de $M$. Traté de demostrar un lema
Deje $L=(x_{1},...,x_{n})$ ser la base lineal de $M$ y deje $A=(x_{1},...,x_{k})$ ser afín a la base de $M$. Para cualquier $M \subseteq \mathbb{R}^d$, $\dim(L)=\dim(\text{span M})=n$ y $\dim(A)=\dim(\text{aff M})=k-1$.
Estoy bastante seguro de que es cierto, pero estoy teniendo problemas para subir con una rigurosa prueba.
En cualquier caso, se tomó el lema a ser verdad yo era capaz de llegar con el siguiente intento de prueba,
Tenemos la garantía de que existe un linealmente independiente de n-family $(x_{1},...,x_{n})$ de los vectores de $M$ tal que $\text{span M}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}$; y que existe una affinely independiente de la familia k de $(x_{1},...,x_{k})$ de los puntos de $M$ tal que $\text{aff M}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales $\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i}$,$\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} = 1$. Esto es equivalente a decir que para cualquier $M \subseteq \mathbb{R}^d$, existe una base lineal $L=(x_{1},...,x_{n})$ $M$ y existe una afín a base $A=(x_{1},...,x_{k})$$M$. Nos muestran que cuando se $\textbf{0} \in \text{aff M}$ que $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M})$ y que al $\textbf{0} \notin \text{aff M}$ que $\dim(A) = \dim(L)$. Por el lema, esto es equivalente a decir al $\textbf{0} \in \text{aff M}$ que $\dim(A)=\dim(L)$ y que al $\textbf{0} \notin \text{aff M}$ que $\dim(A)= \dim(L) -1$. Suponga que para un arbitrario $M \subseteq \mathbb{R}^d$ que $\textbf{0} \in \text{aff M}$. Queremos demostrar que $\dim(A)=\dim(L)$. Desde $A=(x_{1},...,x_{k})$ es un afín a base de $M$, $A$ tiene dimensión $k-1$ y desde $L=(x_{1},...,x_{n})$ es una base lineal de $M$, $L$ tiene dimensión $n$. Nos muestran que $k-1=n$. Desde $\textbf{0} \in \text{aff M}$, a continuación, algunos afín combinación de $M$ es igual al vector cero. Así, por $\lambda_{1}+...+\lambda_{k}=1$ tenemos que, \begin{equation} \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} x_{i} =\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \cdot \sum_{i=1}^{k} x_{i} = \sum_{i=1}^{k} x_{i} = 0 \end{equation} [A partir de aquí, de alguna manera se relacionan esta a una propiedad de dependencia lineal o algo que muestra $k-1=n$]. Suponga que para un arbitrario $M \subseteq \mathbb{R}^d$ que $\textbf{0} \notin \text{aff M}$. Queremos demostrar que $\dim(A)=\dim(L)-1$, que es el $k-1 = n-1$, lo $k=n$. [Pruebe con un enfoque similar al de la primera parte si termina de trabajar y demostrar que $k=n$]. Por lo tanto, $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M})$ al $\textbf{0} \in \text{aff M}$, e $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M}) - 1$ al $\textbf{0} \notin \text{aff M}$.
Agradecería algunas sugerencias que tener un poco de detalle, pero nada como una solución completa, por favor. Si le sucede a ser capaz de extraer una rápida prueba del lema que me gustaría ver eso, y si es malo o inútil por favor dime!
EDIT: me doy cuenta de mi otro enfoque estaba un poco apagado. A partir de la sugerencia de Robert dio que fue capaz de construir el esquema de la prueba (sólo tengo para demostrar que cualquiera de las $B$ o $B \cup \textbf{0}$ es un afín a base de aff $M$ dependiendo de la condición) de la siguiente manera,
Deje $M$ ser un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}^d$. Queremos mostrar que si $\textbf{0} \in \text{aff M}$, $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M})$ y que si $\textbf{0} \notin \text{aff M}$,$\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M}) - 1$. Desde aff $M$ es un subespacio afín de $\mathbb{R}^d$, luego de una afín a base $A=(x_{1},...,x_{n})$ de aff $M$, $\dim(A)=\dim(\text{aff M})=n-1$. Del mismo modo, desde span $M$ es un subespacio lineal de $\mathbb{R}^d$, luego de una base lineal $L=(x_{1},...,x_{n})$ del span $M$, $\dim(L)=\dim(\text{span M})=n$. Así que, nosotros, equivalentemente, para mostrar una base lineal $B$ del span $M$ que si $\textbf{0} \in \text{aff M}$, $B \cup \{\textbf{0}\}$ es un afín base para la aff $M$ y que si $\textbf{0} \notin \text{aff M}$, $B$ es un afín base para la aff $M$. Suponga que $\textbf{0} \in \text{aff M}$ y $B=(x_{1},...,x_{n})$ es una base lineal de l $M$. Queremos demostrar que $B \cup \{\textbf{0}\}$ es un afín a base de aff $M$, ya que mostraría $\dim(B \cup \{\textbf{0}\})=\dim(\text{aff M})=n$. Desde $B$ es una base lineal de l $M$, entonces sería una muestra de que $\dim(B)=\dim(\text{span M})=n$, así que tendría que $\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M})$. [Mostrar aquí que $B \cup \{\textbf{0}\}$ es un afín a base de aff $M$]. Suponga que $\textbf{0} \notin \text{aff M}$ y $B=(x_{1},...,x_{n})$ es una base lineal de l $M$. Queremos demostrar que $B$ es un afín a base de aff $M$, ya que mostraría $\dim(B)=\dim(\text{aff M})=n-1$. Desde $B$ es una base lineal de l $M$, entonces sería una muestra de que $\dim(B)=\dim(\text{span M})=n$, así que tendría que $\dim(\text{aff M})=\dim(\text{span M}) -1$. [Mostrar aquí que $B$ es un afín a base de aff $M$]. Por lo tanto, para cualquier subconjunto $M$ $\mathbb{R}^d$ si $\textbf{0} \in \text{aff M}$$\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M})$, y si $\textbf{0} \notin \text{aff M}$$\dim(\text{aff M}) = \dim(\text{span M}) - 1$.
Dado que se puede demostrar la condición para que el afín base en cada caso, sería una completa prueba? Todavía estoy trabajando en el que muestra la condición, pero quiero saber si la construcción de la prueba es correcta. Gracias!
SEGUNDA EDICIÓN: He publicado un intento de prueba como una respuesta, por favor que lo comente y quiero saber si es correcto.
