Prueba mediante inducción: $n! > n^2$ para $n \geq4 $

Question

Prueba mediante inducción: $n! > n^2$ para $n \geq4 $

• Base: Para n = 4, tenemos: $4! > 4^2$
  $24 > 16$ (VERDADERO)

• Paso inductivo:
  Por la hipótesis de la inducción:
  $k! > k^2$
  $(k+1)k! > (k+1)k^2$
  $(k+1)! > k^3 + k^2$
  Pero.., $k^3 + k^2 > k^2 + 2k + 1$ para $k \geq4 $

Así que.., $(k+1)! > k^3 + k^2 > k^2 + 2k + 1$
$(k+1)! > (k+1)^2$ ---> Lo que queremos probar

¿Esto sirve como prueba para mi sentencia?

Answer 1

Alternativamente, pasos menores. Queremos probar $(k+1)!>(k+1)^2$ es decir, probar $k!>(k+1)$ que es por observación o función gamma, eso es todo.

Answer 2

No hay necesidad de complicarlo tanto.

Suponiendo que $k! > k^2$ . $$(k+1)!>(k+1)^2$$ $$(k+1)k! > (k+1)(k+1)$$ $$k!>k+1$$

La última declaración requiere pocas pruebas por $k \in {4, 5, 6, \cdots }.