¿Es $\mathbb{Z}_p[\mathbb{Z}_p]$ un PID?

Question

<blockquote> <p>¿Es $\mathbb{Z}_{p}[G]$ PID, donde $G=(\mathbb{Z}_{p},+)$ es el grupo aditivo de lo $p$-adics $\mathbb{Z}_{p}$?</p> </blockquote> <p>Estoy estudiando un libro donde los autores utilizan implícitamente esa afirmación, pero no está claro para mí. (Estoy un poco avergonzado por el hecho de que no puedo solucionar este mismo).</p>

Answer 1

Esto no es cierto; de hecho, $\mathbb{Z}_p[G]$ no es ni siquiera Noetherian. Por ejemplo, el aumento ideal $I$, es decir, el ideal generado por a $\{g-1:g\in G\}$. Si $I$ fueron finitely generado, sería un subconjunto finito $F\subset G$ tal que $I$ es generado por los elementos de a$g-1$$g\in F$. Pero si $H\subseteq G$ es el subgrupo generado por a $F$ $J$ es el ideal generado por los elementos de a$g-1$$g\in F$, es fácil ver que la canónica cociente mapa de $\mathbb{Z}_p[G]\to\mathbb{Z}_p[G/H]$ factores mediante el cociente $\mathbb{Z}_p[G]\to\mathbb{Z}_p[G]/J$. Por lo tanto si $J$ es de todos $I$, $H$ debe ser todos los de $G$. Pero $G$ no es finitely generados, por lo que es imposible.