Si G es un grupo tal que todos los subgrupos propios son abelianos, entonces G mismo debe ser abeliano

Question

¿La declaración a continuación es verdadera o falsa?

Si G es un grupo tal que todos los subgrupos propios son abelianos, entonces G mismo debe ser abeliano

Answer 1

¿Qué pasa con$G = S_3$, las permutaciones de los elementos$3$?

Answer 2

Puedes considerar el grupo quaternion Q_8. Todos sus subgrupos propios son cíclicos y abelianos, pero el grupo completo Q_8 no es así. Al preparar una red de subgrupos, puede ver esto fácilmente.

Answer 3

Para generalizar la publicación de @ Furor puedes considerar a todos los grupos Dedekind no abelianos que se llaman Grupo hamiltoniano . Para un ejemplo infinito, puedes considerar$$Q_8\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z(3^{\infty})$ $