Un producto tipo Mertens sobre primos

Question

Página de MathWorld Productos principales da el "resultado relacionado" (7) con el teorema de Mertens: $$ \lim_{n\to\infty}\log p_n\prod_{k=1}^n\frac{1}{1+1/p_k}=\frac{\pi^2}{6e^\gamma}. $$

¿Tiene esta identidad una referencia clásica? Cuando es posible, me gusta dar crédito a los descubridores originales en lugar de limitarse a citarlo como "fácil de demostrar".

Answer 1

El Teorema de Mertens dice:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{1}{\log p_n} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - \displaystyle{\frac{1}{p_k}}} = e^{\gamma}.$$

La fórmula del producto de Euler para el $\zeta$ y su evaluación de $\zeta(2) = \pi^2/6$ dice que

$$\zeta(2) = \lim_{n \rightarrow \infty} \ \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - \displaystyle{\frac{1}{p^2_k}}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \ \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(1 - \displaystyle{\frac{1}{p_k}}\right)\left(1 + \displaystyle{\frac{1}{p_k}}\right)} = \frac{\pi^2}{6}.$$

Su resultado es el segundo límite dividido por el primero. La derivación de esto es tan inmediata que dudo que lo encuentres como "resultado" en la literatura. Las personas correctas para citar son Mertens y Euler.

Answer 2

Pensé que podría disfrutar del hecho de que el valor del producto infinito $$\prod_p\frac{p^2+1}{p^2-1}$$ es $\frac{5}{2}$ .