Así que digamos que hay una habitación con 95 personas en él. Si usted pidió a todas las 95 personas, lo que su cumpleaños es, ¿cuáles son las posibilidades de que usted va a encontrar a dos personas con el mismo cumpleaños. He leído a través de mi libro de texto y miró a través de mis notas, pero me parece que no puede averiguar cómo funciona esto. Tengo una ecuación que se parece a $1 - (1-1/d)(1-2/d)...(1-(n-1)/d)$ que converge a $e^{-n^2/2d}$. Es que la fórmula que utilizo para encontrar la probabilidad, porque no dejo de ver un montón de diferentes ecuaciones y maneras de hacer esto y es confuso, me como un loco.
Respuestas
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George Polevoy
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Hallar la probabilidad de que al menos dos personas tienen el mismo cumpleaños es el mismo que tomar 1 menos la probabilidad de que nadie tiene el mismo cumpleaños. Veamos, por tanto, la probabilidad de que nadie tiene el mismo cumpleaños.
Decir que hemos 95 personas en una habitación, sin el mismo cumpleaños. Hay 365 posibles fechas de nacimiento que la primera persona puede tener, 364 para la segunda persona, etc. Sin ningún tipo de restricciones, hay $365^{95}$ formas de 95 personas, puede tener cualquier fecha de nacimiento.
Por lo que la probabilidad de que el 95 personas en una habitación no tiene ninguna fecha de nacimiento en común es: $\frac{365}{365}*\frac{364}{365}*...*\frac{271}{365}=(1-0/365)(1-1/365)*...*(1-(95-1)/365)$
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos dos personas en una habitación común de la fecha de nacimiento es: $1-(1-0/365)(1-1/365)*...*(1-(95-1)/365)$
reemplazar los 365 d y 95 con el n de obtener su resultado.
Este valor puede ser aproximado por $e^{-n^2/2d}$ mediante la expansión en series de Taylor de $e^x=1+x+x^2/2!+...$
Si tomamos el primer orden de aproximación, se han $e^x{\approx}1+x$
Por eso, $1-n/x{\approx}e^{-n/x}$.
Por lo tanto,
$(1−1/d)(1−2/d)...(1−(n−1)/d){\approx}e^{-\frac{1+2+3+...+(n-1)}{d}}=e^-{\frac{n(n-1)}{2d}}{\approx}e^{-\frac{n^2}{2d}}$
Sayantan Santra
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Vamos a tratar de encontrar una manera más sencilla que funciona. Puede ser arduo para calcular comprar es más fácil de entender. Digamos que hay $n$ personas en una habitación. Vamos a olvidarnos de los años bisiestos. Por lo tanto, hay sólo $365$ cumpleaños posibles. Así, el número de posibles combinaciones de los cumpleaños es $365^n$ porque todo el mundo ha $365$ opciones y todas las decisiones son independientes.
Ahora, vamos a ver cómo muchas combinaciones posibles hay para que todo el mundo tiene diferentes fechas de cumpleaños. Supongamos $n \leq 365$ o que sería obvio que al menos dos de ellos tienen el mismo cumpleaños. Ahora, se puede hacer en ${365 \cdot 364 \cdot \cdot \cdot (365-n+1)=\frac{365!}{(365-n)!}=^{365}P_n}$ maneras. Así, la probabilidad de que el suceso podría ser $\frac{ ^{365}P_n}{365^n}$ la probabilidad de que estamos buscando es el elogio de este caso. Así, la probabilidad de encontrar dos personas con el mismo cumpleaños sería $1- \frac{ ^{365}P_n}{365^n}$.
