Encontrar el límite de $\frac{\sin\pi3^x}{x}$ como $x\to 0$

Question

Tengo que encontrar el límite de $\frac{\sin\pi3^x}{x}$ como $x\to 0$ utilizando SOLO límites notables por favor, ayúdenme.

Answer 1

Podemos utilizar el hecho de que $\sin\alpha=-\sin(\alpha-\pi)$ por lo que podemos reescribir el límite como $$ \lim_{x\to0}-\frac{\sin(\pi(3^x-1))}{x}= -\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi(3^x-1))}{\pi(3^x-1)}\frac{\pi(3^x-1)}{x} $$ Los límites de las dos fracciones son límites conocidos. El límite original es $-\pi\log3$ .

Utilizar la regla de la cadena para calcular la derivada del numerador es mucho más instructivo, en mi opinión.

Answer 2

Para $x\to0, \; \operatorname{e}^x\sim 1+x+o(x^2)$ para que $3^x\sim 1+x\ln 3$ $$ \frac{\sin(\pi \operatorname{3}^x)}{x}\sim \frac{\sin(\pi +\pi x\ln 3)}{x}=-\pi\ln3\frac{\sin(\pi x\ln 3)}{\pi x\ln 3}\to-\pi\ln3 $$

Answer 3

$\sin x=\sin(\pi-x)\quad,\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\quad,\quad\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\iff$ $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi\cdot3^x)}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi-\pi\cdot3^x)}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi-\pi\cdot3^x)}{\pi-\pi\cdot3^x}\cdot\frac{\pi-\pi\cdot3^x}{x}=$$ $$=\pi\cdot\lim_{x\to0}1\cdot\frac{1-3^x}x=-\pi\cdot\lim_{x\to0}\frac{3^x-3^0}{x-0}=-\pi\cdot(3^x)'_{x=0}=-\pi\cdot(3^x\cdot\ln3)_{x=0}=-\pi\cdot\ln3.$$