métrica en el Grupo Euclidiano

Question

Yo no soy un experto en esto así que espero que esto no suene tan estúpido: ¿cuál es la métrica común utilizado a la hora de estudiar la distancia Euclídea Grupo $\mathrm{E}(3)$. Podría hacer la misma cosa (homogénea) de la transformación del grupo de $\mathrm{SE}(3)$. Para el último que he visto el uso de la métrica de Riemann. Por tanto supongo (ya que este no es mi campo) que hay algún tipo de colector de la estructura de los involucrados, por lo que no puedo dejar de pensar que también hay buenas métricas (bueno me refiero a la métrica que se considera "práctico" cuando uno considera rígido movimientos del cuerpo).

Además, hay una manera de visualizar los colectores de$\mathrm{E}(3)$$\mathrm{SE}(3)$? Cualquier referencia en esta área?

Answer 1

Hay varias natural de las métricas que se pueden utilizar en la transformación de los grupos. Por ejemplo, para cualquier grupo topológico que se puede pedir a la derecha o izquierda o un bi-invariante de la métrica. Otra de las formas naturales para definir una métrica es a través de cómo se actúa en un espacio. Si usted realmente quiere pensar en el grupo de isometría de $\mathbb R^3$, supongo que esta es la dirección que usted desea ir. Así que vamos a $f$ $g$ ser isometrías de $\mathbb R^3$. Definir

$$d(f,g) = \max \{ |f(x)-g(x)| : x \in \mathbb R^3, |x| \leq 1 \}$$

Esto tiene la ventaja de que es izquierda-invariante ya. OMI esta es una buena métrica. Si $f$ $g$ fijar el origen son lineales y esta es la norma de $f-g$, lo cual se considera bastante estándar métrico en álgebra lineal.