Evalúa el límite$\lim_{x\to \infty} \sqrt{4x^2+x}-2x$

Question

Evaluar:$$\lim_{x\to \infty} \sqrt{4x^2+x}-2x$ $

ps

Usando L'Hôpital$$\lim_{x\to \infty} \sqrt{4x^2+x}-2x=\lim_{x\to \infty} (\sqrt{4x^2+x}-2x)\frac{\sqrt{4x^2+x}+2x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\lim_{x\to \infty}\frac{{4x^2+x}-4x^2}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}$ $

¿Qué debería hacer después?

Answer 1

Insinuación :

$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2}$, numerador de división y denominador por$x$

Answer 2

No use el mazo de martillos l'Hopital. Simplemente cancela$x$ a $$ \ frac1 {\ sqrt {4+ \ frac1x} +2} $$

Answer 3

Con la sustitución$x=1/t$ (bajo la condición no restrictiva que$x>0$) obtienes $$ \ lim_ {x \ to \ infty} (\ sqrt {4x ^ 2 + x} -2x) = \ lim_ { t \ to0 ^ +} \ left (\ sqrt {\ frac {4} {t ^ 2} + \ frac {1} {t}} - \ frac {2} {t} \ right) = \ lim_ {t \ to0 ^ +} \ frac {\ sqrt {4 + t} -2} {t} $$ que es la derivada en$0$ de$f(t)=\sqrt{4+t}$; ya que $$ f '(t) = \ frac {1} {2 \ sqrt {4 + t}} $$ tiene $$ f' (0) = \ frac {1} {4} $$