¿Cómo formular este hecho lineal de álgebra de forma coordinada y gratuita?

Question

Hay un resultado resultado dado en el último párrafo de la página 15 en Hoffman Y Kunze del álgebra Lineal (2ª Edición), que esencialmente dice que

TEOREMA. Deje $F_1$ ser un subcampo de un campo de $F$. Si las entradas de un $m\times n$ matriz $M$ mentira en $F_1$, e $\mathbf b\in F_1^m$, entonces el sistema de ecuaciones $M\mathbf x=\mathbf b$ tiene una solución $\mathbf x\in F_1^m$ si y sólo si tiene una solución en $F^m$.

En otras palabras, el teorema dice:

TEOREMA. Deje $F_1$ ser un subcampo de un campo de $F$ $V=F^m$ ser un espacio vectorial sobre $F$. Deje $\mathbf A, \mathbf A_1,\ldots, \mathbf A_n$ ser vectores en $V$ cada uno que tiene todas las entradas en $F_1$. Deje $x_1,\ldots,x_n\in F$ ser tal que $\sum_{i=1}^{n}x_i\mathbf A_i=\mathbf A$. Entonces no existe $y_1,\ldots,y_n\in F_1$ tal que $\sum_{i=1}^{n}y_i\mathbf A_i=\mathbf A$.

Estoy buscando un "coordinar" libre de formulación del teorema anterior, es decir, yo no quiero tomar el $F_1^m$ mi espacio vectorial $V$, cuyos elementos son de $m$-tuplas. Me gustaría tener un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$$F_1$.

Puede que alguien vea cómo hacerlo?

Gracias.

Answer 1

Bueno, déjame intentarlo. Tenga en cuenta que $V$ tiene una estructura de espacio vectorial sobre$F$$F_1$; voy a utilizar términos como " $F$- lineal y $F_1$-lineal para especificar sobre cual de ellos estoy escribiendo en cada caso. Para mantener la coherencia usaré $F_1$ también para el espacio vectorial $V_1$ (sustituto de la $F_1^n$), aunque no hay ninguna ambigüedad.

También tenga en cuenta que por comodidad yo estoy haciendo uno con el nombre de "campo de vectores de extensión" ; probablemente existe una correcta término matemático, que puede ser diferente, por el concepto; también no puedo excluir que el término que uso ya está en uso por un concepto distinto.

OK, así que vamos a definir en primer lugar el "vector de campo de extensión":

Definición: Dado un campo $F$ y un subcampo $F_1$$F$, y dado un espacio vectorial $V$ $F$ e un espacio vectorial $V_1$$F_1$, puedo llamar a una función de $E: V_1\to V$ un "vector de campo de extensión" si tiene las siguientes propiedades:

1. $E$ $F_1$- lineal
2. Para cualquier conjunto a $M\subset V_1$ $F_1$- vectores linealmente independientes, los vectores de la imagen $E(M)$ $F$- linealmente independientes.
3. El $F$-lineal casco de $E(V_1)$$V$.

Tenga en cuenta que estas propiedades, en particular, garantizar que la imagen de cualquier base de $V_1$ será una base de $V$.

Ahora vamos a la prueba de la siguiente útil

Lema: Dado espacios vectoriales $V$ $F$ $V_1$ $F_1$ como en el anterior, con un "vector de campo de extensión" $E: V_1\to V$, existe para cada $F_1$-función lineal $M_1:V_1\to V_1$ una $F$-función lineal $M:V\to V$ tal que $E\circ M_1 = M\circ E$.

Prueba: Ser $\{e_i\}$ base $V_1$, y ser $u_i = M_1(e_i)$. Definir $M$ $F$- lineal mapa que los mapas de $E(e_i)$$E(f_i)$. Desde $\{E(e_i\}$ forma una base de $V$ y un lineal mapa es completamente única y definida por los valores que toma sobre una base, esta $F$-función lineal $M$ está bien definido y único. Ser $v\in V_1$. A continuación,$v=\sum_i v_ie_i$, y, por tanto, por la linealidad de todos los implicados en las funciones, $$(E\circ M_1)(v) = \sum_i v_i E(M_1(e_i)) = \sum_i v_i E(u_i) = \sum_i v_i M(E(e_i)) = (M\circ E)(v).$$

Ahora estamos listos para escribir el teorema de coordinar un lenguaje libre:

TEOREMA: Ser $F$ un campo, $F_1$ un subcampo del campo, $V_1$ de un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre $F_1$, $V$ un finito-dimensional espacio vectorial sobre $F$ $E$ un "vector de campo de extensión" de$V_1$$V$. Ser $M_1$ $F_1$- lineal de la función en $V_1$ $M$ el correspondiente $F$-lineal de la función en $V$. Entonces la ecuación de $M(x)=E(b)$ tiene una solución en $V$ si y sólo si $M_1(x)=b$ tiene una solución en $V_1$.