Estoy trabajando en esta pregunta
Muestran que la función $$I(a)=\int\limits_0^\infty e^{-u^2}\cos(au)\,\mathrm du $$ satisfies the differential equation $% $ $2\frac{\mathrm dI(a)}{\mathrm da}+aI(a)=0$
Por lo tanto, encontrar una expresión para $I(a)$
Este es mi trabajo hasta ahora
$$\begin{align} \frac{\mathrm dI(a)}{\mathrm da}&=\int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial a}e^{-u^2}\cos(au)\,\mathrm du\ &=\int\limits_0^\infty -ue^{-u^2}\sin(au)\,\mathrm du\ \ \end{align} $$
$$\begin{align} 2\frac{\mathrm dI(a)}{\mathrm da}+aI(a) &=\int\limits_0^\infty -2ue^{-u^2}\sin(au)\,\mathrm du+\int\limits_0^\infty ae^{-u^2}\cos(au)\,\mathrm du\ &=\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm d }{\mathrm d u}\left(e^{-u^2}\sin(au)\right)\mathrm du\ &=\left.e^{-u^2}\sin(au)\right|_0^\infty\ &=0 \end{align} $$
$$\begin{align} I(0)&=\int\limits_0^\infty e^{-u^2}\,\mathrm du\ \text{let }u=v^{1/2}\ \mathrm du=\frac{v^{-1/2}}2\,\mathrm dv\ &=\int\limits_0^\infty e^{-v}\frac{v^{-1/2}\,\mathrm dv}2\ &=\frac12\int\limits_0^\infty {v^{-1/2}e^{-v}\,\mathrm dv}\ &=\frac{\Gamma(\tfrac12)}2\ &=\frac{\sqrt\pi}2 \end{align} $$
No estoy seguro de lo que significa la pregunta por
"encontrar una expresión para $I(a)$"
¿Cómo debo proceder?
