Demostrar que $a^2 + 1$ no tiene el primer factor de la forma $4k + 3$

Question

Lo que he hecho: (no estoy seguro si es correcto)

$a^2 + 1\equiv 1\pmod 4$ $2\pmod 4$

Pero si tiene dos factores primeros en el % de forma $4k + 3$, $1\pmod4$ va a ser, y no sé dónde ir desde aquí

Answer 1

Si usted puede utilizar el teorema de Lagrange de la teoría de grupos, esto es muy fácil:

• $a^2 \equiv -1 \bmod p$ implica que $a \bmod p$ $4$ de la orden y así divide a $4$ $p-1$.

Si usted quiere evitar el teorema de Lagrange, argumentan como sigue:

• $a^2 \equiv -1 \bmod p$ implica $1 \equiv a^{p-1} \equiv (a^2)^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \bmod p$. Por lo tanto, debe ser incluso $\frac{p-1}{2}$.

Answer 2

Si $$a^2\equiv -1 \pmod{p}$ $ $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$. Así $$\left( \frac{-1}{p}\right)=1$ $

Utilice la fórmula del % del símbolo de Legendre $\left( \frac{-1}{p}\right)$.