Sea n un número par y d un divisor de n/2. Demuéstrese que existe un número $1\leq t\leq n$ tal que $(t,n)=1$ y $(n,t-1)=2d$ .

Question

Sea n un número par y d un divisor de n/2. Demuéstrese que existe un número $1\leq t\leq n$ tal que $(t,n)=1$ y $(n,t-1)=2d$ .

$(n,t)$ es el máximo común divisor de n , t. Sea también $(n,0)=n$ .

Gracias.

Answer 1

La condición sobre $d$ equivale a exigir que $2d$ es un divisor par de $n$ . De hecho podemos demostrar la afirmación para un divisor $r$ de $n$ bajo la hipótesis más débil de que $n$ es impar o $r$ es par.

Sea $n=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$ y $r=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ con $r_i\le n_i$ . Por el teorema chino del resto, existe $t$ tal que $t\equiv p_i^{r_i}+1\bmod p_i^{n_i}$ para todos $i$ . Entonces $t$ no es divisible por ninguno de los factores primos Impares de $n$ . Si $n$ es impar, todos sus factores primos son impar. Si $r$ es par, $t$ no es divisible por $2$ . En cualquier caso, $t$ no es divisible por ninguno de los factores primos de $n$ Así que $(t,n)=1$ . Por otra parte, $t-1\equiv p_i^{r_i}\bmod p_i^{n_i}$ para todos $i$ Así que $(n,t-1)=r$ .