implicar

Question

Yo no se entiende cómo $\oplus$ (xor) funciona todavía. Sé que fundamentalmente en términos de las tablas de verdad significa sólo 1 valor(p o q) puede ser verdadera, pero no ambas. Pero cuando se trata de resolver problemas con ellos o para probar las igualdades no tengo idea de cómo usar $\oplus$.

Por ejemplo: yo estoy tratando de hacer un problema en el que tengo que demostrar o refutar con un contraejemplo si o no $A \oplus B = A \oplus C$ implica $B = C$ es cierto.

Sé que el diagrama de venn de $\oplus$ en este caso incluye las regiones de a y B, excluyendo las áreas que se superponen. Y del mismo modo que incluye las regiones de a y C, pero no el de las áreas que se superponen. Sería algo parecido a esto:

Siento que la afirmación anterior sería cierto sólo mirar el diagrama de venn desde el área de ABC es incluido en el $\oplus$, pero no estoy seguro de si eso es una adecuada prueba suficiente. Por otro lado, puedo estar completamente equivocado acerca de mi razonamiento.

También sólo en aras de la claridad: $A\cup B = A \cup C$ $A \cap B = A \cap C$ ser probado en una manera similar a la que muestran o no, las condiciones implican $B = C$? Un contraejemplo/ prueba de ello sería apreciado así.

Answer 1

Piensa en$\oplus$ como$\neq$. Eso es$A \oplus B$ iff $A \neq B$.

Tenga en cuenta que$A \oplus A$ siempre es falso y$\text{False}\oplus A = A$.

Entonces $A \oplus (A \oplus B) = (A \oplus A) \oplus B = \text{False} \oplus B = B $.

Del mismo modo,$A \oplus (A \oplus C) = C$, de ahí$B=C$.

Aparte : un uso "lindo" (como en la diversión pero no de importancia práctica) de$\oplus$ es intercambiar los valores de dos variables de bit en un lenguaje de programación sin usar una variable intermedia: \begin{eqnarray} x = y \oplus x \\ y = y \oplus x \\ x = y \oplus x \\ \end {eqnarray } ¡Muestre que los valores de$x,y$ se intercambian!

Answer 2

Sugerencia: $A\oplus(A\oplus B)=(A\oplus A)\oplus B = B$.

Y, por supuesto,$A\cup B=A\cup C$ no implica$B=C$ (considere el caso$B=A\ne \emptyset = C$). Y$A\cap B=A\cap C$ tampoco implica$B=C$ (considere el caso$A=\emptyset$)

Answer 3

Sugerencia:$\oplus$ es asociativo con la unidad$\emptyset$ y$A \oplus A = \emptyset$. ¿Esto te da una idea para cancelar?

Answer 4

Esto se puede hacer mediante un simple cálculo. Pero no sé cómo interpretar tu pregunta, así que te voy a dar dos respuestas. :-)

---

Estoy asumiendo $\;A,B,C\;$ son booleanos. Voy a escribir $\;\not\equiv\;$ en lugar de $\;\oplus\;$, e $\;\equiv\;$ en lugar de $\;=\;$ en los booleanos.

En primer lugar, tenga en cuenta que $\;\equiv\;$ $\;\not\equiv\;$ no son sólo los dos asociativo, pero también son mutuamente asociativa. Por lo tanto, no hay paréntesis son necesarios en el siguiente cálculo.

Ahora podemos simplificar $\;A \oplus B = A \oplus C\;$ como sigue: \begin{align} & A \not\equiv B \equiv A \not\equiv C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"rearrange"} \\ & A \not\equiv A \equiv B \not\equiv C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"simplify"} \\ & \text{false} \equiv B \not\equiv C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"simplify"} \\ & B \equiv C \\ \end{align}

---

Si en lugar de $\;A,B,C\;$ son conjuntos, y su $\;\oplus\;$ es la diferencia simétrica de dos conjuntos (que normalmente escrito como $\;\triangle\;$), entonces la prueba es un poco más largo, pero esencialmente con la misma estructura.

La definición más simple de la diferencia simétrica es $$ x \in A \oplus B \equiv x \in A \no\equiv x \in B $$

Podemos ampliar las definiciones y simplificar el uso de la lógica, de la siguiente manera: \begin{align} & A \oplus B = A \oplus C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"set extensionality; definition of %#%#%, twice"} \\ & \langle \forall x :: x \in A \not\equiv x \in B \equiv x \in A \not\equiv x \in C \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: rearrange"} \\ & \langle \forall x :: x \in A \not\equiv x \in A \equiv x \in B \not\equiv x \in C \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify"} \\ & \langle \forall x :: \text{false} \equiv x \in B \not\equiv x \in C \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify"} \\ & \langle \forall x :: x \in B \equiv x \in C \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"set extensionality"} \\ & B = C \\ \end{align}

---

En ambos casos, hemos encontrado una fuerte conclusión a la que se le preguntó: hemos demostrado la equivalencia de dos expresiones.

Answer 5

Se pidió a esta pregunta adicional en el último párrafo:

También sólo en aras de la claridad: $A\cup B = A \cup C$ $A \cap B = A \cap C$ ser probado en una manera similar a la que muestran o no, las condiciones implican $B = C$? Un contraejemplo/ prueba de ello sería apreciado así.

---

$A\cup B=A\cup C$ $\Rightarrow$ $B=C$ no es cierto en general.

Contraejemplo: Tomar cualquier conjunto no vacío $A$ y también tome $B=A$$C=\emptyset$. A continuación,$A\cup B=A\cup C=A$, pero $B\ne C$.

---

$A\cap B=A\cap C$ $\Rightarrow$ $B=C$ no es cierto en general.

Tomar algún elemento $x\notin A$ y poner $B=A$, $C=A\cup\{x\}$. A continuación,$A\cap B=A\cap C=A$, pero $B\ne C$.