¿Se puede aproximar $u\in W_0^{1,p}\cap L^\infty$ por una secuencia $u_k\in C_0^\infty $ $\|u_k\|_\infty$ limitada?

Question

Suponga que $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ es un almacén de Lipschitz de dominio y deje $p\in [1,\infty)$. Supongamos que $u\in W_0^{1,p}(\Omega)\cap L^\infty (\Omega)$.

Es posible aproximar $u$ por una secuencia de la función $u_k\in C_0^\infty(\Omega)$ tal que $\|u_k\|_\infty\leq M$ para alguna constante positiva $M$?

Yo estaba tratando de hacer el siguiente. Extender $u$ cero fuera de $\Omega$ y deje $\eta_\delta$ ser un mollifier secuencia. Por lo tanto $u_\delta=\eta_\delta\star u$ es tal que $u_\delta\in C_0^\infty (\mathbb{R}^N)$$u_\delta\to u$$W^{1,p}(\Omega)$.

Ahora, para cada una de las $\delta>0$ deje $\Omega_\delta=\{x\in \Omega:\ \operatorname{d}(x,\partial\Omega)\geq \delta\}$. Tome $\lambda_\delta\in C_0^\infty(\Omega)$ tal que $\lambda_\delta =1$ en $\Omega_\delta$, $\lambda_\delta\in [0,1]$ en $\Omega_{\delta}\setminus\Omega_{2\delta}$$\lambda_\delta =0$$\Omega\setminus \Omega_\delta$. Definir $g_\delta=\lambda_\delta u_\delta$ y tenga en cuenta que $g_\delta\in C_0^\infty(\Omega)$.

Qué $g_\delta$ converge a$u$$W^{1,p}(\Omega)$?

Actualización: Nota de que $$\|g_\delta-u\|_p\leq \|\eta_\delta\star u-u\|_p+\|\lambda_\delta u-u\|_p\tag{1}$$

y $$\left\|\frac{\partial g_\delta}{\partial x_i}-\frac{\partial u}{\partial x_i}\right\|_p\leq \left\| \frac{\partial \lambda_\delta}{\partial x_i}(\eta_\delta\star u)\right\|_p+\left\|\eta_\delta\star \frac{\partial u}{\partial x_i}-\frac{\partial u}{\partial x_i}\right\|_p+\left\|\lambda_\delta \frac{\partial u}{\partial x_i}-\frac{\partial u}{\partial x_i}\right\|_p\tag{2}$$

Utilizando el teorema de Lebesgue y la definición de $u_\delta$, $(1)$ converge a $0$. Por el mismo argumento, tenemos que los dos términos de la derecha de $(2)$ no converge a $0$. Por lo tanto, la pregunta es: ¿Podemos elegir $\lambda_\delta$ de tal manera que $$\left\| \frac{\partial \lambda_\delta}{\partial x_i}(\eta_\delta\star u)\right\|_p\to 0$$

Answer 1

Aquí hay otro, más simple, el enfoque. Deje $m=\|f\|_{L^\infty}$. Arreglar una función suave $\psi:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $\psi(t)=t$ cuando $|t|\le m$, $\psi(t)=m+1$ al $t\ge m+1 $ $\psi(t)=-m-1$ al $t<-m-1 $. Desde $\psi $ es suave (y $\Omega$ es limitado), la composición del operador $g\mapsto \psi\circ g$ es de Lipschitz en $W^{1,p}(\Omega)$. (Basta comprobar la Lipschitz de la propiedad en las suaves y funciones, para lo cual se deduce de la regla de la cadena.)

Desde $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$, hay una secuencia $v_k$ $C_c^\infty(\Omega)$ funciones que converge a$u$$W^{1,p}$. Deje $u_k=\psi\circ v_k$. Por lo anterior, $u_k\to \psi\circ u=u$$W^{1,p}$. Y $|u_k|\le m+1$ por la construcción.