A $T$ limitada

Question

Deje $X,Y$ ser normativa espacios lineales y deje $T:X\to Y$ ser lineal en el mapa, tales que para cada absolutamente convergente la serie de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n$, la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Tx_n$ converge. Quiero demostrar que la $T$ está acotada. Lo que he hecho es la siguiente:

Deje $(x_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $X$. A continuación, para cada $k\in \mathbb N$ existe $n_k\in \mathbb N$ tal que $\parallel x_n-x_m\parallel<\frac{1}{2^k}$ todos los $n,m\geq n_k$. Assumuing $n_k<n_{k+1}$ todos los $k\in \mathbb N$ obtenemos $\parallel x_{n_k}-x_{k-1}\parallel<\frac{1}{2^{k-1}}$ por cada $k\geq 2$. Deje $y_1=x_{n_1}$$y_k= x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}} $$k\geq 2$. Ahora es fácil mostrar que $\sum\limits_{k=1}^{\infty}y_k$ es absolutamente convergente. Por lo tanto, por hipótesis, $\sum\limits_{k=1}^{\infty}Ty_k$ converge. Pero esto da $(x_{n_k})$ converge. Cómo proceder en el futuro? por favor, ayuda!

Answer 1

Una posible prueba, utilizando un argumento diferente, es este:

Suponga $T$ es no acotada. A continuación, para todos los $k\in\mathbb{N}$ hay$z_k\in X$$\Vert z_k\Vert_X=1$$\Vert Tz_k\Vert_Y>k^2$. Ahora, considere la secuencia de $(x_k)_k$ s.t. para todos $k$, $ x_k=\frac{z_k}{k^2}$. Entonces:

1. $\Vert Tx_k\Vert_Y>1$ todos los $k$.
2. La serie $\sum_{k=1}^\infty x_k$ es absolutamente convergente, lo que implica $\sum_{k=1}^\infty Tx_k$ es convergente.

Considerar la secuencia de $(y_k)_k$$Y$$y_k=\sum_{n=1}^k Tx_n$. Por 2. es una secuencia convergente. Sin embargo, por 1. para todos $k$, $\Vert y_k-y_{k-1}\Vert_Y=\Vert Tx_k\Vert_Y >1$, lo que implica que no es una secuencia de Cauchy, que es una contradicción.