Dimensión de un espacio de diferenciales meromórficas

Question

¿Cuál es el % de la dimensión $d_{ \large k,n}$del espacio de los grado $k$ meromorphic diferenciales sobre la esfera con residuos fijos ($\alpha_i$) en $n$ puntos $z_i$?

La pregunta en este papel, al final de la página $(1)$, pregunta $ii)$ "cuenta parámetros"

Un ejemplo simple con, por ejemplo $k=2, n= 3,4$ sería bienvenida también.

Answer 1

En primer lugar, un recordatorio de la definición del residuo: $$ Res_0(\alpha z^{-k} +\beta z^{k+1} +... )dz^k= \alpha. $$ Voy a hacer los cálculos sólo para $k<0$, ya que de lo contrario sólo se obtiene cero de ($k>0$) o constante ($k=0$) meromorphic diferenciales.

Deje $A=\{z_1,...,z_n\}$ $n$- elemento subconjunto de $S^2$. Consideraré $A$ como divisor en $S^2$; voy a utilizar la notación multiplicativa de divisores. Recordar que si $D=\prod_i P_i^{d_i}$ es un divisor de a $S^2$ (sólo para$d_i>0$), a continuación, $O_D$ es la rango 1 gavilla en $S^2$ de meromorphic funciones que son holomorphic lejos de $D$ y que han polos de orden $\le d_i$ a los puntos de $P_i$. El espacio de $H^0(O_D)$ es el espacio global de las secciones de $O_D$. Para simplificar la notación, voy a denotar este espacio simplemente por $L_D$. También tendremos la gavilla $\Omega^k=\Omega^k(S^2)$ de holomorphic $k$-diferenciales en $S^2$; no es nada sino $K^k$ donde $K$ es la canónica gavilla de $S^2$ (yo también uso la notación $K$ por su divisor).

Nosotros, además, necesitan algún grado cálculos: Para $s>0$, $deg(A^s)=ns$ (aquí tenemos el divisor $A^s=\prod_{i=1}^n a_i^s$); y $deg(\Omega^k)=-2k$.

Ahora, para $s>0$ considera la gavilla $O_{A^s}$ $S^2$ correspondiente a los divisor $A^s$. El espacio de meromorphic $k$-diferenciales en $S^2$ usted está interesado en, es $V_{k}=H^0(O_{A^k}\otimes \Omega^k(S^2))$, ya que están permitiendo que los polos de la orden de $\le k$ en los puntos $z_i$, $i=1,...,n$. Voy a utilizar la notación $D_{s,k}$ para el divisor de la gavilla
$$ O_{A^s}\otimes \Omega^k(S^2) $$ que vamos a necesitar así. Dado que el grado es aditivo para el tensor de productos de la línea de paquetes (como divisores de multiplicar), obtenemos: $$ deg (D_{s,k})= ns-2k. $$ Por la Riemann-Roch fórmula, por $D=D_{s,k}$, tenemos $$ dim L_{D}= deg (D_{s,k})+ 1 - dim L_{D^{-1} K} = deg (D_{s,k})+ 1= sn-2k +1, $$ desde $deg(D^{-1} K)<0$ y, por lo tanto, la gavilla de este divisor no tiene un valor distinto de cero (global) de las secciones.

En cada una de las $z_j$ tenemos el residuo (función lineal) $$ R_j: V_k\{\mathbb C}, R_j(\omega)= Res_{z_j}(\omega). $$ Conjunto $$ R=(R_1,...,R_n). $$

Su pregunta es, entonces, para calcular las dimensiones de los afín espacios de $R^{-1}({\alpha})$, que son espacios en los subespacios de $V_k$ que consta de meromorphic diferenciales con residuos de $\alpha_i$$z_i$. El núcleo de la aplicación lineal mapa de $R$ es el espacio de meromorphic diferenciales que tienen los polos de la orden en la mayoría de los $k-1$ en cada una de las $a_i$. En otras palabras, $Ker(R_k)=L_{D_{k-1,k}}$. Por lo tanto, la dimensión de las fórmulas que hemos de dar nosotros: $$ dim V_k= dim L_{D_{k,k}}= kn-2k+1, dim L_{D_{k-1,k}}= (k-1)n-2k+1, $$ lo que implica que $R: V_k\to {\mathbb C}^n$ es surjective. Por lo tanto, obtenemos: $$ d_{k,n}=dim R^{-1}({\alpha})= dim L_{D_{k-1,k}}= (k-1)n-2k+1 $$ para cada ${\alpha}\in {\mathbb C}^n$.