Evaluar la integral usando coordenadas esféricos

Question

Dada la integral $\int^{1}{0}\int^{\sqrt{1-x^{2}}}{0}\int^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}_{0} \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}dzdxdy$

Necesito evaluar esto utilizando coordenadas esféricas.
Hasta ahora tengo que $0\leq r \leq 1$ y comprendo que $\theta$ es el ángulo en el plano xy y tiene que ser menor o igual a $2\pi$ y $\varphi$ es el ángulo hecho girar alrededor del eje z y es menor o igual a $\pi$ sin embargo no estoy seguro sobre cómo entrenamiento los límites de $\theta$ y $\varphi$ de esta pregunta.

Answer 1

En coordenadas esféricos, la función están integrando sobre es $$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{r^2},$$ and this function is constant over shells of radius $r$. Since the region of integration is the ball of radius $1$ in the first octant, and since the surface area of a shell of radius $r$ is $4\pi r ^ 2$, your integral equals $% $ $\frac{1}{8}\int_0^1\frac{1}{r^2}\cdot 4\pi r^2dr=\frac{\pi}{2}.$

Answer 2

Voy a trabajar en este problema cuando radio $r$ es constante en general.

Paso 1. Medio de coordenadas esféricos:

$x = r \sin(\varphi) \cdot \cos(\theta)$

$y = r \sin(\varphi) \cdot \sin(\theta)$

$z = r \cos(\varphi)$

(Convencer a su auto mediante la elaboración de imágenes)

Paso 2. Cambio de coordenadas necesita jacobiano

$|J| = r^2 \cdot \sin(\varphi)$ en este caso.

Así, $dxdydz = r^2 \cdot \sin(\varphi) drd \varphi d\theta$

Paso 3. Calcular

$\int_0^r \int_0^\sqrt{r^2-x^2} \int_0^\sqrt{r^2-x^2-y^2} \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} dzdydx$

= $\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^r \frac{1}{r^2} r^2 \sin(\varphi) drd \varphi d\theta$

= $\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^r \sin(\varphi) drd \varphi d\theta$

=$r \cdot \pi/2$.

Answer 3

Jacobiano es

%#% $ #% para la conversión de elemento de volumen en coordenadas esféricos de rectangular.

El integrando

$$ = \cos \phi\, r^2 \,dr \, d \phi \, d \theta $ $ que simplifica la parte integral de

$$= \dfrac{1}{r^2}$$

$$\int^{\pi/2}{0} \, \int ^{\pi/2}{0} \int^1_{0} dr \, \cos \phi \, d\phi \, d \theta $$

como el área menos de la mitad de onda sinusoidal es la unidad.