Imagen de Borel de un espacio polaco

Question

Sea $X, Y$ sean espacios polacos y $f : Y \to X$ sea una función Borel, es decir, la preimagen de todo subconjunto Borel de $X$ sea un subconjunto de Borel de $Y$ . Demostrar que $f[Y]$ es un subconjunto analítico de $X$ .

Nota: Si $f$ fueran continuos, lo anterior sería una definición precisa de subconjunto analítico.

Recuerdo vagamente una prueba que he visto basada en refinar la topología para que algunos conjuntos Borel se conviertan en clopens pero ningún conjunto adicional se convierta en Borel; no recuerdo cuál era exactamente. Es preferible una prueba de este tipo, pero cualquier otra prueba o sugerencia también será muy apreciada.

Answer 1

1. El gráfico de $f$ es un subconjunto de Borel de $Y \times X$ que es un espacio polaco.

2. Un subconjunto Borel de un espacio polaco es analítico.

3. La proyección es continua.

4. La imagen continua de un conjunto analítico es analítica.