Ejemplos concretos de 2-categorías

Question

He estado leyendo algunos de Juan Báez trabajo en 2 categorías (por ejemplo aquí) y he estado tratando de visualizar algunas de las construcciones que él nos da.

Estoy interesado en venir con 'concreto' ejemplos de 2-categorías. Como un ejemplo de lo que no entiendes, sé que la categoría Cat formas 2-categoría, donde los objetos son pequeños categorías, los morfismos son functors y el 2-morfismos son naturales transformaciones. Pero esto es demasiado abstracto para mí - dado que categóricas construcciones son lo que yo estoy teniendo problemas para entender, no me ayuda mucho para dar un ejemplo de la categoría de teoría!

Uno pensaba que yo tenía es que usted podría ser capaz de ver un grupo de 2 categoría. Tomando la perspectiva de que un grupo es una categoría con un objeto, donde los morfismos son las simetrías del objeto, a continuación, usted debe ser capaz de construir un 2-categoría diciendo que el 2-morfismos son el interior de automorfismos del grupo. Una pregunta interesante es entonces lo que la estructura sintáctica de las 2-morfismos.

Para ser concreto, considere el grupo $D_3$. Aquí el objeto es un triángulo equilátero, y hay seis morfismos $e$, $r$, $r^2$, $m$, $mr$ y $mr^2$ donde $e$ es la identidad, $r$ es la rotación por $2\pi/3$ $m$ es la reflexión en uno de los ejes de simetría, y los otros son los obvios composiciones de estos.

A continuación, el 2-morfismos son las funciones $\phi_g$$\phi_g(h)=ghg^{-1}$. Para este ejemplo, el 2-morfismos tiene la estructura de la base de grupo $D_3$, pero claramente este no es siempre el caso (por ejemplo, para cualquier grupo abelian la 2-morfismos tiene la estructura de la trivial grupo). No he trabajado a través de muchos de los detalles, pero parece que podría ser el grano de una interesante línea de pensamiento aquí.

Así que mis preguntas son:

1. Es la visualización de grupos como 2-categorías de una cosa interesante que hacer, es decir, te da nuevas perspectivas que hacer previamente esotérico hechos acerca de los grupos "obvio", o, al menos, los casos especiales de los resultados en 2 categorías?

2. ¿Qué otros 'concreto' ejemplos de 2-categorías hay?

Answer 1

Con el fin de entender $2$-categorías, usted realmente tiene que entender el prototipo de $\mathsf{Cat}$ de las categorías pequeñas. Los objetos son categorías, morfismos son functors, y $2$-morfismos son naturales transformaciones. Otro prototipo, el cual está estrechamente relacionado con eso, es la $2$categoría $\mathsf{Top}$ (que en realidad es una $(\infty,1)$-categoría). Los objetos son espacios topológicos, morfismos son continuos los mapas, y $2$-morfismos son homotopies entre continuo mapas (como Omar comentarios, uno tiene que tener cuidado aquí para obtener asociatividad de $2$-morfismos; hay varias soluciones). Muchos de los conceptos básicos acerca de la $2$-categorías son adaptadas (a partir de la notación, por ejemplo, "$2$- células" en lugar de $2$-morfismos) a estos prototipos.

Hay muchos interesantes subcategorías de $\mathsf{Cat}$ o variaciones de los mismos. La categoría de monoids $\mathsf{Mon}$ es un completo subcategoría de $\mathrm{Cat}$, que consta de categorías con un solo objeto. Un objeto es un monoid, un morfismos es un homomorphism de monoids, y un $2$-morfismos entre homomorphisms $f,g : M \to N$ es algún elemento $n \in N$ tal que $f(m) n = n g(m)$ todos los $m \in M$. Si $M,N$ son los grupos, esto significa que $f,g$ se conjugan para cada uno de los otros. Así que esto viene cerca de su ejemplo, pero no creo que un solo grupo puede ser considerado como un $2$-categoría.

Algo similar ocurre para la categoría de $\mathsf{Ring}$ de los anillos: Aunque generalmente se considera como un $1$-categoría, es en realidad un $2$-categoría cuando la consideramos como una subcategoría de la categoría si es lineal categorías (es decir, aquellos con un solo objeto). La descripción de $2$-morfismos es como el anterior.

Anillos categorify a cocomplete tensor de categorías, que también constituyen una $2$-categoría (morfismos: cocontinuous tensor de functors, $2$-morfismos: tensor natural de las transformaciones). El $2$-categoría de (algebraica) de las pilas, es otro ejemplo importante. Es relativa porque a cada pila de $\mathcal{X}$ uno puede asociar un cocomplete tensor de la categoría $\mathrm{Qcoh}(\mathcal{X})$ de cuasi coherente gavillas, y resulta que $\mathrm{Qcoh}(-)$ es totalmente fiel en muchas situaciones (ver aquí).

Como se puede ver, la mayoría de los ejemplos son optained por las variaciones de $\mathsf{Cat}$. Aparte de eso:

Cada $1$-categoría puede ser considerada como una $2$-categoría mediante la introducción de sólo identidades como $2$-morfismos. Y un $2$-categoría con un solo objeto es sólo una categoría monoidal, y hay muchos ejemplos de ellos. De manera similar al punto de vista de la categoría "= monoid con muchos objetos" tenemos "$2$-categoría = categoría monoidal con muchos objetos".

Finalmente, otro ejemplo muy básico de una $2$-categoría es la categoría de abarca: los Objetos son los conjuntos (o los objetos de otra categoría), una de morfismos de $A$ $B$es un conjunto $C$ junto con los mapas de $A \leftarrow C \rightarrow B$. Estos se componen a través de pullbacks. Y un $2$-morfismos de un palmo $A \leftarrow C \rightarrow B$ a otro grupo, se $A \leftarrow C' \rightarrow B$ es una de morfismos $C \to C'$ de manera tal que la obvia "diamante" diagrama de desplazamientos. En realidad, usted tiene que tomar el isomorfismo-clases de abarca, de manera que la asociatividad es satisfecho.

Answer 2

Tomando la perspectiva de que un grupo es una categoría con un objeto, donde los morfismos son las simetrías del objeto, a continuación, usted debe ser capaz de construir un 2-categoría diciendo que el 2-morfismos son el interior de automorfismos del grupo.

No creo que esto funciona. Más precisamente, no veo un candidato natural para la composición horizontal.

Escribí este post en el blog parcialmente como una introducción a la 2-categorías. Doy un par de ejemplos, pero no demasiados, así que aquí están algunos ejemplos (algunos tomado de el post y algunos no):

• Varias subcategorías de $\text{Cat}$. Por ejemplo, $\text{Mon}$ (monoids) o $\text{Pos}$ (posets).
• Para cualquier espacio topológico $X$, hay 2 categoría $\Pi_2(X)$, la fundamental 2-groupoid de $X$, cuyos objetos son los puntos de $X$, cuyos morfismos son las continuas rutas en $X$, y cuyo 2-morfismos son las homotopy clases de homotopies entre caminos en $X$.
• Sólo como una categoría con un objeto es una monoid, un 2-categoría con un objeto es un (estricto) de categoría monoidal $(M, \otimes)$. Ejemplos importantes incluyen cualquier categoría con productos así como la categoría de representaciones de un grupo, la Mentira álgebra, bialgebra...
• Para cualquier categoría monoidal $V$, varias subcategorías de $V\text{-Cat}$. Por ejemplo, si $V = \text{Ab}$, entonces uno puede tomar la 2-categoría de anillos (muy similar para el caso de monoids).
• (La estructura) de la bicategory de bimodules. Esta construcción se generaliza considerablemente.

Yo a veces hablar de "la" 2-categoría de proposiciones lógicas. Los morfismos son las pruebas de una proposición de otra, y el 2-morfismos son maneras de dar vuelta a una prueba en el otro (no tengo una idea precisa de lo que esto debería significar).

Answer 3

Omar de la construcción mediante elementos centrales es un caso especial de algo que describo en este post aquí. $\newcommand{\id}{\textrm{id}}$

En Cartan y Eilenberg hay varios casos de los cuadrados de los que "anticommute", esto es, tenemos $h \circ f = - k \circ g$ en lugar de $h \circ f = k \circ g$. Me preguntaba si podríamos hacer esto en una instancia de una plaza de commuting", hasta una determinada 2-morfismos" y resultó que la respuesta era sí.

Deje $\mathbb{C}$ ser una (pequeña) de la categoría. Se adjunta a cada paralelo par de 1-morfismos $f, g : X \to Y$ el conjunto de todos los naturales de las transformaciones $\alpha : \id_\mathbb{C} \Rightarrow \id_\mathbb{C}$ tal que $g = \alpha_Y \circ f$. La composición vertical es obvio, y si tenemos otro paralelo par $h, k : Y \to Z$ y un 2-morfismos $\beta : h \Rightarrow k$, la horizontal de la composición de $\alpha$ $\beta$ es sólo $\beta \circ \alpha$, ya que el $k \circ g = (\beta_Z \circ h) \circ (\alpha_Y \circ f) = (\beta_Z \circ \alpha_Z) \circ (h \circ f)$, por connaturalidad de $\alpha$. Esto produce un (estricto) 2-categoría de estructura en $\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que tenemos que recordar que la transformación natural que se necesita para hacer el triángulo conmuta con el fin de tener una bien definida horizontal de la composición.

En el caso específico de $\mathbb{C} = R\text{-Mod}$, el conjunto de la clase?) de natural transformaciones $\id_\mathbb{C} \Rightarrow \id_\mathbb{C}$ incluyen el escalar acción de $R$, por lo que, en particular, la anticommutative plazas de Cartan y Eilenberg puede ser considerada como una plaza de desplazamientos de hasta un 2-morfismos.

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$\newcommand{\profto}{\nrightarrow}$ Mi ejemplo favorito de un bicategory (es decir, un débil 2-categoría) es el bicategory $\mathfrak{Span}$ de los tramos de conjuntos. Los objetos son conjuntos, y el 1-morfismos $M : A \profto B$ son arbitrarias pares de mapas de $(s : M \to A, t : M \to B)$. Composición por productos de fibra: si $N : B \profto C$ es otro espacio, a continuación, su composición $N \circ M : A \profto C$ está dado por $M \times_B N$ y el evidente proyecciones hacia abajo a$A$$C$. 2-morfismos entre vinculaciones es un simple mapa de conjuntos que conmuta con los mapas estructurales.

¿Por qué es $\mathfrak{Span}$ interesante? Porque una mónada en $\mathfrak{Span}$ es exactamente la misma cosa como una (pequeña) 1-categoría! (Yo creo que los "naturales" de la noción de homomorphism que surge de esta forma es que de un profunctor en lugar de un functor, pero que debe ser considerado como una característica más que un error.)

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Una forma fácil de "strictify" $\mathfrak{Span}$ es mirar a un determinado más familiar subcategoría: las 2 categoría $\mathfrak{Rel}$, cuyos objetos son conjuntos y cuyo 1-morfismos son las relaciones. (La composición de las relaciones es el habitual: si $R : A \profto B$ $S : B \profto C$ son las relaciones, $c \mathrel{(S \circ R)} a$ si y sólo si es algo de $b$ tal que $c \mathrel{S} b$$b \mathrel{R} a$.) 2-morfismos entre dos relaciones es sólo la inclusión de la base de los gráficos.

Moralmente, $\mathfrak{Rel}$ es 0-dimensional análogo de la bicategory $\mathfrak{Prof}$ de categorías y profunctors, y es una forma de "ampliar" el ordinario 1 categoría $\textbf{Set}$. Tenemos el siguiente hecho notable: una relación $F : A \profto B$ tiene un derecho adjoint si y sólo si $F$ es una relación funcional. Así que no sólo es $\textbf{Set}$ fielmente incrustado en $\mathfrak{Rel}$, también tenemos una manera de reconocer cuando una de morfismos viene de $\textbf{Set}$!

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Por último, algunos consejos no solicitados: 2-categoría de la teoría es impenetrable incluso si usted está familiarizado con el ordinario de la categoría de teoría. Creo firmemente que uno debe tener una excelente comprensión de ordinario categoría de teoría antes de pasar a la de mayores dimensiones de las cosas. Como ordinario de la categoría de la teoría depende en gran medida de nuestras intuiciones acerca de la $\textbf{Set}$ 1 categoría 2 categoría de la teoría depende en gran medida de nuestras intuiciones acerca de la $\mathfrak{Cat}$ 2-categoría – y que la intuición sólo puede ser construida por el estudio 1-categorías.

Answer 4

Esto probablemente no es lo suficientemente concreta, pero uno de mis ejemplos favoritos de 2 categoría es la categoría de anillos, bimodules, y bimodule homomorphisms.

(composición de bimodules es el producto tensor)

La razón me parece interesante es en parte debido a que recoge el 'álgebra' de los módulos y de tensor de productos dentro de una estructura, y en parte porque resulta ser 2-equivalente al 2-categoría de módulo de categorías, adjunctions, naturales y transformaciones.

Es similar a la razón por la que mi ejemplo favorito de un 1-categoría es la (flecha) de la categoría de matrices -- es decir, la matriz 'álgebra'.

Answer 5

No he tenido el tiempo para leer los detalles de su ejemplo, pero la idea debe ser la correcta. Otro ejemplo es el de un cruzado módulo. Este es un objeto de la categoría en la categoría de grupos. Hay un papel por Báez y Lauda que describen 2-grupos, y puede re-interpretar estas 2 categorías. Ver las referencias en el mismo.

Mi ejemplo favorito de un 2-categoría (por razones obvias), la categoría de 2-enredos. Los objetos son los puntos, los morfismos son maraña de diagramas y el 2-morfismos son de superficie diagramas que interpolar entre la maraña de diagramas. Las relaciones entre el 2-morfismos son la película se mueve, pero la precaución debe ser tomada aquí.

Yo entiendo que no son algebraicas versiones de 2-trenzas dada por Rouquier y otros.

Un buen ejercicio es determinar que un trenzado de categoría monoidal de 2 categoría.