Satisface a números reales $x,y$ $x^2+y^2=1.$ si el valor mínimo y máximo de la expresión $z=\frac{4-y}{7-x}$ $m$ y $M$

Question

Los números reales $x,y$ satisface $x^2+y^2=1.$Si el valor mínimo y máximo de la expresión $z=\frac{4-y}{7-x}$ $m$ $M$ respectivamente,luego de encontrar a $2M+6m.$

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Deje $x=\cos\theta$$y=\sin\theta$, debido a $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$.

Entonces tenemos que encontrar el valor mínimo y máximo de la expresión $\frac{4-\sin\theta}{7-\cos\theta}$.

Yo diferenciadas y la equiparaba a cero para encontrar los puntos críticos o puntos de los extremos.

Son $\theta_1=\arcsin(\frac{1}{\sqrt{65}})-\arctan(\frac{7}{4})$ $\theta_2=\arccos(\frac{1}{\sqrt{65}})+\arctan(\frac{4}{7})$

Encontré $\frac{4-\sin\theta_1}{7-\cos\theta_1}$$\frac{4-\sin\theta_2}{7-\cos\theta_2}$.

$\frac{4-\sin\theta_1}{7-\cos\theta_1}=\frac{3}{4}$ $\frac{4-\sin\theta_2}{7-\cos\theta_2}=\frac{5}{12}$

Este método está llena de largos cálculos.Lo que quiero saber es que hay una elegante solución posible para este problema que es corto y fácil.

Answer 1

$$y-4=z(x-7)\tag{1}$ $ es una ecuación de todas las líneas que pasan pendiente $(7,4)$ $z$. Cuando $z$ está en su mínimo o máximo entonces la línea toca el círculo unitario. Ecuación de líneas tangentes con pendiente $z$ a un círculo de la unidad es $ comparación % de $$y=zx\pm\sqrt{z^2+1}\tag{2}$ $(1)$y $(2)$, $$-7z+4=\pm\sqrt{z^2+1}$ $ $$(7z-4)^2=z^2+1$ $ $$48z^2-56z+15=0$ $ $$(4z-3)(12z-5)=0$ $ $$\therefore M=\frac34, m=\frac5{12}$ $

Answer 2

SUGERENCIA:

Que $\dfrac{4-\sin \theta}{7-\cos \theta}=u$

Uso Weierstrass sustitución $t=\tan\dfrac\theta2$ para formar una ecuación cuadrática en $t$ en cambio.

Como $t$ es real, el discriminante debe ser no negativo