Vamos $$ K:= \{x: [0,T] \to \mathbb R: x^{\prime}(t)=x^2(t), \, 0\le x(T) \le 1\}. $$ Demostrar que $K$ es un subconjunto compacto de $C([0,T],\mathbb R)$.
Mi idea es usar el Ascoli-Arzelà thm. Primero de todo, por algunos cálculos rutinarios he encontrado que $$ K= \left\{x:[0,T] \to \mathbb R: x(t)=\frac{x(T)}{x(T)(T-t)+1}, \, 0\le x(T) \le 1\right\} $$
Luego me han demostrado que
$K$ es equibounded: $$ \vert x(t)\vert\le\left\vert \frac{x(T)}{(T-t)x(T)+1}\right\vert \le x(T) \le 1 $$ para cada $t \in[0,T]$, y para cada $x(\cdot) \in K$.
$K$ es equicontinuous: de hecho, el siguiente es cierto $$ \vert x(t_1)-x(t_2) \vert \le \vert t_1 -t_2 \vert $$ para cada $t_1,t_2 \in[0,T]$, y para cada $x(\cdot) \in K$.
Por último, he de mostrar que $K$ se cierra: tomemos $x_n \to x$ uniformemente s.t. $x^{\prime}_n = x_n^2$ por cada $n$. A continuación, $x_n^2 \to x^2$ uniformemente; en suma tenemos
- $x_n \to x$ uniformemente;
- $x^{\prime}_n = x_n^2 \to x^2$ uniformemente.
Por lo tanto $x$ es diferenciable y $x^{\prime}=x^2$.
Es mi prueba correcta? Gracias de antemano.
