¿$x(x!)^{1/x}$ Es una función creciente del $x$, $x > 0$?

Question

Es $x(x!)^{1/x}$ una función creciente de $x$$x > 0$?

Aquí $x!$ es el factorial de $x$.

Seguro, yo sé cálculo diferencial, pero mi problema es que no sé cómo calcular la derivada de $x!$.

Por último, le pregunté WolframAlpha trace la gráfica de la función $$f(x)=x(x!)^{1/x}$$ y parece ir en aumento.

Es posible demostrar que este hecho rigurosamente? Gracias!

Answer 1

$$\log f(x) = \log x + \frac{1}{x}\log\Gamma(x+1) $ $ y $\log x$ va en aumento, por lo tanto es suficiente para mostrar que $\frac{1}{x}\log\Gamma(x+1)$ va en aumento. Sin embargo:

$$\frac{1}{x}\log\Gamma(x+1) = \frac{\log\Gamma(x+1)-\log\Gamma(0+1)}{x-0} $ $ está aumentando ya que es convexa por el Teorema de Bohr-Mollerup$\log\Gamma$.